הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/יחידות ההצגה של שיטות ספירה מבוססות מיקום"

גרסה אחרונה מ־12:41, 3 בנובמבר 2016

נדון כאן בשאלה מתי למספר $x\in[0,1)$ יש הצגה יחידה בפיתוח לפי בסיס $b\ge 2$ כלשהו (למשל בינארי או טרינארי). הקבוצה הרלוונטית לשאלה היא קבוצת הסדרות $X:=\big\{0,1,\ldots,b-1\big\}^\N$ . והפונקציה הרלוונטית היא $f:(x_n)_{n=1}^\infty\mapsto\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x_n}{b^n}$

משפט

למספר $x\in[0,1)$ אין הצגה $b$ -ארית יחידה או"א ישנו $N\in\N$ ומספר $0<k<b^N$ כך ש- $x=\frac{k}{b^N}$ וגם $k\not\equiv 0\pmod{b}$

הוכחה

נניח כי $(x_n)_{n=1}^\infty\ne(y_n)_{n=1}^\infty\in X$ סדרות שונות של ספרות בבסיס $b$ המייצגות את אותו מספר $x$ (ז"א $x=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x_n}{b^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{y_n}{b^n}$ ).

יהי $N\in\N$ מיקומה של הספרה הראשונה בה הסדרות שונות זו מזו (ז"א $x_1=y_1,x_2=y_2,\ldots,x_{N-1}=y_{N-1},x_N\ne y_N$ ) נניח בה"כ כי $x_N<y_N$ . אם כן:

$0=f(y)-f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{y_n-x_n}{b^n}=\sum_{n=1}^{N-1}0+\frac{y_N-x_N}{b^N}+\sum_{n=N+1}^\infty\frac{y_n-x_n}{b^n}=\frac{y_N-x_N}{b^N}+\sum_{n=N+1}^\infty\frac{y_n-x_n}{b^n}$

נשים לב כי הביטוי $\frac{y_N-x_N}{b^N}$ הוא לכל הפחות $\frac{1}{b^N}$ (זה קורה כאשר $y_N=x_N+1$ ).

כדי לאפס את אגף ימין במשוואה הגדולה, נשאלת השאלה עד כמה שלילי יכול זנב הטור, $\sum\limits_{n=N+1}^\infty\frac{y_n-x_n}{b^n}$ להיות?

את התשובה נקבל אם נדרוש כי לכל $n\ge N+1$ יתקיים $y_n=0,x_n=b-1$ , ואז זנב הטור הוא $\sum\limits_{n=N+1}^\infty\frac{0-(b-1)}{b^n}=-\frac{1}{b^N}$ .

מכאן רואים שאסור שההפרש $y_N-x_N$ יהיה גדול ממש מ-1, כי אז לא נוכל לאפס את אגף ימין בעזרת זנב הטור.

בסה"כ יש לנו שתי הצגות עבור $x$ :

$x=0.x_1x_2x_3\dots x_N(b-1)(b-1)(b-1)\dots_b$ וגם $x=0.y_1y_2y_3\dots(x_N+1)000\dots_b$

ההצגה השנייה נותנת $x=\sum\limits_{n=1}^N\frac{y_n}{b^n}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{y_nb^{N-n}}{b^N}=\frac{\sum\limits_{n=1}^N y_nb^{N-n}}{b^N}=\frac{k}{b^N}$

שימו לב שזה לא למבחן, פשוט נשאלה השאלה בתרגול ורציתי לתת תשובה מסודרת. אם יש טעויות או שאלות אפשר לשלוח לי מייל. --Michael 21:13, 9 בדצמבר 2012 (IST)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-נדון כאן בשאלה מתי למספר <math>x \in [0,1)</math> יש הצגה יחידה בפיתוח לפי בסיס <math>b \ge 2</math> כלשהו (למשל בינארי או טרינארי). הקבוצה הרלוונטית לשאלה היא קבוצת הסדרות <math>X:=\{ 0,1, \dots , b-1 \}^\mathbb{N}</math>. והפונקציה הרלוונטית היא <math>f: (x_n)_{n=1}^\infty \mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{b^n}</math>
+נדון כאן בשאלה מתי למספר <math>x\in[0,1)</math> יש הצגה יחידה בפיתוח לפי בסיס <math>b\ge 2</math> כלשהו (למשל בינארי או טרינארי). הקבוצה הרלוונטית לשאלה היא קבוצת הסדרות <math>X:=\big\{0,1,\ldots,b-1\big\}^\N</math> . והפונקציה הרלוונטית היא <math>f:(x_n)_{n=1}^\infty\mapsto\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x_n}{b^n}</math>
+==משפט==
+למספר <math>x\in[0,1)</math> '''אין''' הצגה <math>b</math>-ארית יחידה או"א ישנו <math>N\in\N</math> ומספר <math>0<k<b^N</math> כך ש- <math>x=\frac{k}{b^N}</math> וגם <math>k\not\equiv 0\pmod{b}</math>
-== משפט ==
+==הוכחה==
-למספר <math>x \in [0,1)</math> '''אין''' הצגה <math>b</math>-ארית יחידה או"א ישנו <math>N \in \mathbb{N}</math> ומספר <math>0 < k<b^N</math> כך ש-<math>x=\frac{k}{b^N}</math> וגם <math>k \not\equiv 0\pmod {b}</math>
+נניח כי <math>(x_n)_{n=1}^\infty\ne(y_n)_{n=1}^\infty\in X</math> סדרות שונות של ספרות בבסיס <math>b</math> המייצגות את אותו מספר <math>x</math> (ז"א <math>x=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x_n}{b^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{y_n}{b^n}</math>).
+יהי <math>N\in\N</math> מיקומה של הספרה הראשונה בה הסדרות שונות זו מזו (ז"א <math>x_1=y_1,x_2=y_2,\ldots,x_{N-1}=y_{N-1},x_N\ne y_N</math>) נניח בה"כ כי <math>x_N<y_N</math> . אם כן:
-== הוכחה ==
+<math>0=f(y)-f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{y_n-x_n}{b^n}=\sum_{n=1}^{N-1}0+\frac{y_N-x_N}{b^N}+\sum_{n=N+1}^\infty\frac{y_n-x_n}{b^n}=\frac{y_N-x_N}{b^N}+\sum_{n=N+1}^\infty\frac{y_n-x_n}{b^n}</math>
-נניח כי <math>(x_n)_{n=1}^\infty \neq (y_n)_{n=1}^\infty \in X</math> סדרות שונות של ספרות בבסיס <math>b</math> המייצגות את אותו מספר <math>x</math> (ז"א <math>x=\sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{b^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{b^n}</math>).
-יהי <math>N \in \mathbb{N}</math> מיקומה של הספרה הראשונה בה הסדרות שונות זו מזו (ז"א <math>x_1=y_1,x_2=y_2, \dots, x_{N-1}=y_{N-1},x_N \neq y_N</math>) נניח בה"כ כי <math>x_N<y_N</math>. אם כן:
-<math>0=f(y)-f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{y_n-x_n}{b^n} = \sum_{n=1}^{N-1} 0+\frac{y_N-x_N}{b^N}+\sum_{n=N+1}^\infty \frac{y_n-x_n}{b^n}=\frac{y_N-x_N}{b^N}+\sum_{n=N+1}^\infty \frac{y_n-x_n}{b^n}</math>
 נשים לב כי הביטוי <math>\frac{y_N-x_N}{b^N}</math> הוא לכל הפחות <math>\frac{1}{b^N}</math> (זה קורה כאשר <math>y_N=x_N+1</math>).
-כדי לאפס את אגף ימין במשוואה הגדולה, נשאלת השאלה עד כמה שלילי יכול זנב הטור, <math>\sum_{n=N+1}^\infty \frac{y_n-x_n}{b^n}</math> להיות?
+כדי לאפס את אגף ימין במשוואה הגדולה, נשאלת השאלה עד כמה שלילי יכול זנב הטור, <math>\sum\limits_{n=N+1}^\infty\frac{y_n-x_n}{b^n}</math> להיות?
-את התשובה נקבל אם נדרוש כי לכל <math>n \ge N+1</math> יתקיים <math>y_n=0,x_n=b-1</math>, ואז זנב הטור הוא <math>\sum_{n=N+1}^\infty \frac{0-(b-1)}{b^n}=-\frac{1}{b^N}</math>.
+את התשובה נקבל אם נדרוש כי לכל <math>n\ge N+1</math> יתקיים <math>y_n=0,x_n=b-1</math> , ואז זנב הטור הוא <math>\sum\limits_{n=N+1}^\infty\frac{0-(b-1)}{b^n}=-\frac{1}{b^N}</math> .
 מכאן רואים שאסור שההפרש <math>y_N-x_N</math> יהיה גדול ממש מ-1, כי אז לא נוכל לאפס את אגף ימין בעזרת זנב הטור.
-בסה"כ יש לנו שתי הצגות עבור <math>x</math>:
+בסה"כ יש לנו שתי הצגות עבור <math>x</math> :
-<math>x=0.x_1x_2x_3 \dots x_N(b-1)(b-1)(b-1) \dots_b</math> וגם <math>x=0.y_1y_2y_3 \dots (x_N+1)000 \dots_b</math>
+<math>x=0.x_1x_2x_3\dots x_N(b-1)(b-1)(b-1)\dots_b</math> וגם <math>x=0.y_1y_2y_3\dots(x_N+1)000\dots_b</math>
-ההצגה השנייה נותנת <math>x=\sum_{n=1}^N \frac{y_n}{b^n}=\sum_{n=1}^N \frac{y_n b^{N-n}}{b^N}=\frac{\sum_{n=1}^N y_n b^{N-n}}{b^N}=\frac{k}{b^N}</math>
+ההצגה השנייה נותנת <math>x=\sum\limits_{n=1}^N\frac{y_n}{b^n}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{y_nb^{N-n}}{b^N}=\frac{\sum\limits_{n=1}^N y_nb^{N-n}}{b^N}=\frac{k}{b^N}</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/יחידות ההצגה של שיטות ספירה מבוססות מיקום"

גרסה אחרונה מ־12:41, 3 בנובמבר 2016

משפט

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים