שינויים

נדון כאן בשאלה מתי למספר <math>x \in [0,1)</math> יש הצגה יחידה בפיתוח לפי בסיס <math>b \ge 2</math> כלשהו (למשל בינארי או טרינארי). הקבוצה הרלוונטית לשאלה היא קבוצת הסדרות <math>X:=\big\{ 0,1, \dots ldots, b-1 \big\}^\mathbb{N}</math>. והפונקציה הרלוונטית היא <math>f: (x_n)_{n=1}^\infty \mapsto \sum_sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x_n}{b^n}</math>

== משפט הוכחה==למספר נניח כי <math>x \in [0,(x_n)_{n=1}^\infty\ne(y_n)_{n=1}^\infty\in X</math> '''אין''' הצגה סדרות שונות של ספרות בבסיס <math>b</math>-ארית יחידה או"א ישנו המייצגות את אותו מספר <math>N \in \mathbb{N}x</math> ומספר <math>0 < k<b^N</math> כך ש-(ז"א <math>x=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{kx_n}{b^Nn}</math> וגם <math>k =\notsum_{n=1}^\equiv 0infty\pmod frac{y_n}{b^n}</math>).

== הוכחה ==נניח כי <math>(x_n)_{n=1}^\infty \neq (y_n)_{n=1}^\infty \in X</math> סדרות שונות של ספרות בבסיס <math>b</math> המייצגות את אותו מספר <math>x</math> (ז"א <math>x=\sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{b^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{b^n}</math>). יהי <math>N \in \mathbb{N}</math> מיקומה של הספרה הראשונה בה הסדרות שונות זו מזו (ז"א <math>x_1=y_1,x_2=y_2, \dots, x_{N-1}=y_{N-1},x_N \neq y_N</math>) נניח בה"כ כי <math>x_N<y_N</math>. אם כן: <math>0=f(y)-f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{y_n-x_n}{b^n} = \sum_{n=1}^{N-1} 0+\frac{y_N-x_N}{b^N}+\sum_{n=N+1}^\infty \frac{y_n-x_n}{b^n}=\frac{y_N-x_N}{b^N}+\sum_{n=N+1}^\infty \frac{y_n-x_n}{b^n}</math>

כדי לאפס את אגף ימין במשוואה הגדולה, נשאלת השאלה עד כמה שלילי יכול זנב הטור, <math>\sum_sum\limits_{n=N+1}^\infty \frac{y_n-x_n}{b^n}</math> להיות?

את התשובה נקבל אם נדרוש כי לכל <math>n \ge N+1</math> יתקיים <math>y_n=0,x_n=b-1</math>, ואז זנב הטור הוא <math>\sum_sum\limits_{n=N+1}^\infty \frac{0-(b-1)}{b^n}=-\frac{1}{b^N}</math>.

בסה"כ יש לנו שתי הצגות עבור <math>x</math>:

<math>x=0.x_1x_2x_3 \dots x_N(b-1)(b-1)(b-1) \dots_b</math> וגם <math>x=0.y_1y_2y_3 \dots (x_N+1)000 \dots_b</math>

ההצגה השנייה נותנת <math>x=\sum_sum\limits_{n=1}^N \frac{y_n}{b^n}=\sum_sum\limits_{n=1}^N \frac{y_n by_nb^{N-n}}{b^N}=\frac{\sum_sum\limits_{n=1}^N y_n by_nb^{N-n}}{b^N}=\frac{k}{b^N}</math>