88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 1

לכל קבוצה E\subseteq\R ומספרים a,b\in\R מגדירים aE+b:=\{ax+b:x\in E\} (ז"א aE+b היא תמונת E תחת הפונקציה הלינארית x\mapsto ax+b).

הוכיחו: m^*(aE+b)=|a|m^*(E)

שאלה 2

הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב- \R הנה מדידה לבג.

הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הנו מדיד.

שאלה 3

הגדרה: נאמר שקבוצה G\subseteq\R היא מטיפוס G_\delta אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

תהי E\subseteq\R הוכיחו שקיימת קבוצה G\in G_\delta המקיימת E\subseteq G וכן m^*(G)=m^*(E)

הדרכה: עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה E\subseteq\R ולכל \varepsilon>0 קיימת קבוצה פתוחה O , המקיימת E\subseteq O וכן m^*(O)\le m^*(E)+\varepsilon

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.


בהצלחה!