88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 8 הדרכה

הדרכה נוספת לשאלה 2

בסעיף א', מוצע לכם להוכיח את הרציפות בהחלט של $\sqrt{x}$ ע"י הוכחת נוסחת ניוטון לייבניץ: $\sqrt x -\sqrt 0=\int_0^x \frac{1}{2\sqrt t} \, dm(t)$.

שימו לב שאסור להשתמש במשפט היסודי מתורת רימן, כי מדובר באינטגרל לא אמיתי (הפונקציה לא חסומה בסביבת $x=0$), והמשפט המקשר בין אינטגרל רימן לאינטגרל לבג מההרצאה הוכח רק לאינטגרל הרגיל, של פונקציה חסומה על קטע סגור. דרך אחת להתגבר על הקושי היא להגדיר סדרה עולה של פונקציות $0 \le f_1 \le f_2 \le \dots$ מדידות (ראו גרפים להמחשה) ולהשתמש במשפט ההתכנסות המונוטונית)

נסו לרשום את הסדרה במונחים של פונקציות אינדיקטור.

לגבי סעיף ב' - ניתן להוכיח את הרציפות בהחלט של $\begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$ ע"פ ההגדרה, אבל כדאי לתת למקרה שאחד הקטעים $(a_k,b_k)$ מתחיל באפס התייחסות שונה.

רמז נוסף: משפט הערך הממוצע של לגראנז'.