* לכל x מתקיים <math>x^{0}=1 </math> ובפרט <math>0^{0}=1 </math>
* לכל x שונה מאפס מתקיים <math>0^{x}=0 </math>
* <math>x^{qa}x^{b}=x^{a+b} </math>
* <math>x^{-a}=\frac{1}{x^{a}} </math>
* <math>\frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b} </math>
1) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 </math> נעשה מכנה משותף ונקבל <math>\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 </math> נסמן ב-<math>s=2^{x} </math> ונקבל משוואה <math>s^{2}-s+1=0 </math> קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.
2) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} </math> שוב נעשה מכנה משותף ונקבל <math>2s^{2}-5s+2=0 </math> לאחר שנציב <math>s=2^{x} </math>, פתרונות למשוואה הזאת הם <math>ss_{1}=2^{x}=2 </math> u> ו-<math>s_{2}=2^{x}=2^{-1} </math> ולכן פתרון כללי הוא ה-x-ים שמקיימים את המשוואה הם <math>x_{1}=1 x_{2}=-1 </math>
===הגדרת הלוגריתם===
תרגיל: פתרו את <math>e\approx2.51 </math>
פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים <math>ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0 </math> ואז נקבל <math>ln\left(1-x^{2}\right)=0 </math> ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים <math>1-x^{2}=1 </math> u> ולכן תושב סופי תושבה סופית היא היא x שווה אפס.
===ערך מוחלט ואי שוויון===
ולכן פתרון לאי שוויום יהיה איחוד של שלושת המקרים: <math>x\geq1 </math> או <math>\frac{2}{3}<x<1 </math> או <math>x<0</math>
===אי שוויונים מעריכיים===
בפתרון של אי שוויונים מעריכיים יש לשים לב לכללים הבאים:
1) כל הבסיסים המופיעים באי שוויון חייבים להיות חיוביים.
2) * אם <math>a>1 </math> אזי אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אז <math>a^{x_{1}}<a^{x_{2}} </math> ולכן אי שוויון שבין החזקות זהה לאי שוויון שבין המעריכים.
* אם <math>0<a<1 </math> אזי אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אז <math>a^{x_{2}}<a^{x_{1}} </math> ולכן אי השוויון שבין החזקות הוא הפוך בכיוונו לאי השוויון שבין המעריכים.
תרגיל: פתור את אי השוויון: <math>\left(x-3\right)^{5x}<\left(x-3\right)^{x^{2}} </math>
פתרון: כאן x מופיע גם בחזקה וגם בבסיס ולכן נצטרך לחלק לשני מקרים:
מקרה 1: <math>x-3\geq1 </math> ולכן <math>x\geq4 </math> במקרה זה אי שוויון בין מעריכים הוא כמו אי שוויון בין החזקות ונקבל: <math>5x<x^{2}\Rightarrow x^{2}-5x>0\Rightarrow x\left(x-5\right)>0 </math> פתרון ואי שוויון זה הוא <math>x>5 </math> או <math>x<0 </math> ולכן חיתוך בין שני התחומים הוא <math>x>5 </math>
מקרה 2: <math>0<x-3<1\Rightarrow3<x<4 </math> ואז אי שוויון שבין המעריכים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין החזקות ולכן מתקיים <math>5x>x^{2} </math> ותרון לאי שוויון זה הוא <math>0<x<5 </math> והפתרון המקרה זה יהיה חיתוך בין שני התחומים והוא <math>3<x<4</math>
פתרון של אי שוויון יהיה איחוד בין שני המקרים: <math>x>5 </math> או <math>3<x<4</math>
===אי שוויונים לוגריתמיים===
בפתרון של אי שוויונים לוגריתמיים יש לשים לב לכללים הבאים:
1) כל הביטויים שבתוך הלוגריתמים חייבים להיות חיוביים.
2) * אם <math>a>1 </math> אזי אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אזי <math>log_{a}x_{1}<log_{a}x_{2} </math> ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הוא באותו כיוון של אי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים.
* אם <math>0<a<1 </math> אז אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אז <math>log_{a}x_{2}<log_{a}x_{1} </math> ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים.
* אם x מופיע גם בבסיס הלוגריתם צריך לזכור שהבסיס הוא חיובי ושונה מ-1.
תרגיל: פתור את אי שוויון <math>log_{x}\left(x+1\right)<2 </math>
פתרון: קודם כל נסדר את הביטוי: <math>log_{x}\left(x+1\right)<2\cdot1=2log_{x}x=log_{x}x^{2} </math>
http://math-wiki.com/extensions/Math/images/button_math.png
קודם כל נדאג שביטויים בתוך הלוגריתם יהיו חיוביים <math>x+1>0\Rightarrow x>-1 </math> וגם <math>x^{2}\neq0\Rightarrow x>0\vee x<0</math> אבל יש לנו x בבסיס ואנחנו דורשים שהוא יהיה חיובי ולכן חיתוך בין שלושת התחומים נותן <math>x>0</math>.
נחלק למקרים, מקרה 1: <math>x>1 </math> אזי <math>x+2<x^{2} </math> פתרון לאי שוויון ריבועי זה הוא <math>x>2 </math> או <math>x<-1 </math> אבל ראינו ש-<math>x>0 </math> ולכן החיתוך בין התחומים כאן הוא <math>x>2 </math>.
מקרה 2: אם <math>0<x<1 </math> נקבל <math>x+2>x^{2} </math> פתרון של אי שוויון ריבועי זה הוא <math>-1<x<2 </math>, סה"כ פתרון נוא חיתוך של התחומים והוא שווה <math>0<x<1 </math>.
פתרון של אי שוויון הוא איחוד של שני המקרים והוא שווה ל-<math>0<x<1 </math> או <math>x>2 </math>