ה'''סדר של איבר''' <math>\ g \in G</math> הוא n>0 הקטן ביותר שעבורו <math>\ g^n=1_G</math> (אם יש כזה; אחרת הסדר הוא אינסוף). כל איבר g יוצר תת-חבורה <math>\ \langle g \rangle</math>, הכוללת בדיוק את החזקות של g; סדר החבורה הזו שווה לסדר האיבר. חבורות כאלה, הנוצרות על-ידי איבר אחד, נקראות '''חבורות ציקליות'''.
לדוגמא, החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> ציקלית, משום שהיא נוצרת על-ידי המחלקה <math>\ [1]</math>. כל החבורות הציקליות מאותו סדר איזומורפיות זו לזו. חישבנו שהסדר של a בחבורה הזו הוא <math>\ n/(a,n)</math>, ולכן יש בדיוק <math>\ \phi(n/e)</math> אברים מכל סדר n/e. בפרט, יש לחבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> בדיוק <math>\ \phi(n)</math> יוצרים. == הרצאה חמישית == כל תת-חבורה של <math>\ \mathbb{Z}_n</math> נוצרת על-ידי איבר המחלק את n; אם a|n, אז הסדר של החבורה הנוצרת על-ידי a הוא n/a, ולכן, אם H תת-חבורה של <math>\ \mathbb{Z}_n</math> מסדר d, היא שווה לחבורה הציקלית <n/d>. כלומר, לחבורות ציקליות יש תת-חבורה יחידה מכל סדר שמשפט לגרנז' מתיר. הוכחנו ש- <math>\ \mathbb{Z}_{nm} \isom \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m</math> אם ורק אם n,m זרים. (על-ידי בניית העתקה מפורשת: <math>\ [x]_{nm} \mapsto ([x]_{n},[x]_m)</math>). מכאן נובע למשל ש- <math>\ \mathbb{Z}_{12} \times \matbhh{Z}_{15} \isom \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_{60}</math>: לחבורה האבלית שמות רבים. מגדירים את המכפלה של תת-חבורות כקבוצה של כל המכפלות האפשריות: <math>\ AB=\{ab | a\in A, b\in B\}$</math>. באופן דומה אפשר להגדיר, לכל קבוצה בחבורה, <math>\ S^{-1}=\{s^{-1} | s\in S\}</math>. הוכחנו שאם A,B תת-חבורות, אז המכפלה AB תת-חבורה אם ורק אם AB=BA. הגדרנו '''הומומורפיזם''' (העתקה מחבורה G לחבורה H, השומרת על הכפל (ולכן גם על איבר היחידה ועל פעולת ההיפוך)). התמונה של הומומורפיזם היא תת-חבורה של H, והגרעין הוא תת-חבורה של G. הומומורפיזם הוא חד-חד-ערכי אם ורק אם הגרעין שלו טריוויאלי. ראינו שכל תת-חבורה יכולה להיות תמונה של הומומורפיזם כלשהו. מאידך, לא כל תת-חבורה יכולה להיות גרעין של הומומורפיזם: לתת-חבורות כאלה נקרא בשעור הבא "תת-חבורות נורמליות", ובינתיים אנו מגדירים אותן על-פי התכונה <math>\ aH=Ha</math> לכל a, ותכונות השקולות לה.