שינויים
/* הרצאה שתים-עשרה */
הוכחנו את משפט קיילי, הקובע שכל חבורה סופית איזומורפית לתת-חבורה של חבורת תמורות. '''תרגיל'''. הציגו את <math>\ S_3</math> בתור תת-חבורה של <math>\ S_6</math>.
== הרצאה תשיעית == הגדרנו את הסימן של תמורה <math>\ \sigma</math> בתור הזוגיות של מספר 'הפרות הסדר', שהן זוגות <math>\ i<j</math> עם <math>\ \sigma(i)>\sigma(j)</math>. הפונקציה הזו היא הומומורפיזם <math>\ S_n \rightarrow \section{תקציר השעור התשיעי\pm 1\}</math>. כל תמורה אפשר להציג כמכפלה של חילופים (לאו דווקא זרים, כמובן). מכיוון שלכל חילוף יש סימן אי-זוגי, הסימן קובע את הזוגיות של מספר החילופים בכל הצגה כזו. הגרעין של העתקת הסימן, היינו אוסף כל התמורות הזוגיות, הוא תת-חבורה נורמלית מאינדקס 2 של <math>\,S_n</math>, שאותה מסמנים ב-<math>\,A_n</math>. כפי ש-<math>\,S_n</math> נוצרת על-ידי כל החילופים, <math>\,A_n</math> נוצרת על-ידי כל המחזורים מאורך 3. אם <math>\ n\geq 5</math> אז החבורה <math>\ A_n</math> פשוטה, כלומר, אין לה תת-חבורות נורמליות לא טריוויאליות. חבורת האוטומורפיזמים של חבורה G כוללת, לפי ההגדרה, את כל האוטומורפיזמים של החבורה (אלו הם הומומורפיזמים חד-חד-ערכיים ועל, מן החבורה אל עצמה). הצמדה באיבר של G מגדירה אוטומורפיזם, והפונקציה המתאימה לכל איבר את ההצמדה בו-עצמו היא הומומורפיזם, שהגרעין שלו הוא מרכז החבורה. התמונה נקראת "חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים", והיא תת-חבורה נורמלית של חבורת האוטומורפיזמים. לאחר שהוברר שהצמדה מסוגלת להגדיר אוטומורפיזמים על החבורה, אפשר להשתמש בשיטה הזו גם כדי להגדיר אוטומורפיזמים של תת-חבורות. אם H תת-חבורה נתונה, נסמן ב- <math>\ N_G(H) = \{g\in G: gHg^{-1} =H\}</math> את ה'''מנרמל''' של H. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבתוכה H נורמלית. שיטת ההצמדה מגדירה הומומורפיזם של המנרמל לתוך חבורת האוטומורפיזמים של H, שהגרעין שלו הוא המרכז <math>\ C_G(H)</math>. כך מתקבל "משפט N/C": המנה <math>\ N_G(H)/C_G(H)</math> איזומורפית לתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של H. == הרצאה עשירית == הוכחנו את משפט קושי: בכל חבורה (סופית) שהסדר שלה מתחלק ב-p, יש איברים מסדר p (הוכחנו את התוצאה בכמה שלבים: בחבורות ציקליות זהו תרגיל קל; בחבורות אבליות כלליות עוברים לחבורת מנה ביחס לתת-חבורה ציקלית ומסיימים באינדוקציה; בחבורות כלליות מפעילים את שוויון המחלקות). מכאן עברנו לנתח חבורות אבליות. הגדרנו את האקספוננט של חבורה אבלית A, שהוא המספר e הקטן ביותר המקיים <math>\ x^e = 1</math> לכל <math>\ x\in A</math>. האקספוננט שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל הסדרים של אברים של A. לפי משפט קושי, הראשוניים המחלקים את סדר החבורה הם אותם ראשוניים המחלקים את האקספוננט שלה.בכל חבורה אבלית יש איבר מסדר השווה לאקספוננט שלה (בכתה הוכחנו את הטענה רק לחבורת-p אבלית). מכיוון שהחבורה A אבלית, פעולת ההעלאה בחזקת n היא הומומורפיזם, ואפשר להגדיר את הגרעין <math>\ A_n = \{x: x^n=1\}</math> והתמונה <math>\ A^n = \{x^n\}</math>. הראינו שחבורה אבלית מסדר nm, כאשר n,m זרים, היא מכפלה ישרה של תת-החבורות <math>\ A^n \times A^m</math>, שהסדרים שלהן m ו-n בהתאמה. באינדוקציה, נובע מכאן שכל חבורה אבלית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות מסדר חזקת ראשוני. המשפט המרכזי על חבורות-p אבליות קובע שאם H תת-חבורה ציקלית של A שסדרה שווה לאקספוננט של A (ותמיד קיימת כזו), אז A מתפרקת למכפלה ישרה של H ותת-חבורה נוספת. מכאן נובע, באינדוקציה, שכל חבורת-p אבלית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות. בשילוב עם התוצאה הקודמת, קיבלנו שכל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות. == הרצאה אחת-עשרה == התאוריה של חבורות אבליות סופיות מסוכמת ב'''משפט''' הבא: כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה <math>\ \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_t}</math>, כאשר <math>\ d_1|\cdots | d_t</math>. את הקיום מוכיחים על-ידי קיבוץ מרכיבי-p הגדולים ביותר לכדי המרכיב האחרון, הגדולים ביותר מאלו שנותרו מרכיבים את המרכיב השני בגודלו, וכן הלאה. היחידות נובעת מכך שאנו יכולים לחשב את <math>\ d_1</math> מתוך החבורה. אכן, מספר הגורמים t הוא הערך המקסימלי שהפונקציה <math>\ \log_p|A/pA|</math> מקבלת; ובנוסף לזה, <math>\ |p^{\ell-1}A/p^\ell A| = p^t</math> אם ורק אם <math>\ p^\ell | d_1</math>. מובן שמחזקות הראשוניים המחלקות את המספר אפשר לשחזר אותו באופן מלא. התחלנו ללמוד את '''תורת החוגים''': נלמד רק חוגים קומוטטיביים עם יחידה. חוג קומוטטיבי, אם כך, הוא מערכת מתמטית עם שתי פעולות ("חיבור" ו"כפל") ושני קבועים ("0" ו"1"). הגדרנו מהם תת-חוגים, אידיאלים, סכום ומכפלה של אידיאלים (שגם הם אידיאלים), הומומורפיזמים של חוגים, גרעין ותמונה. משפט האיזומורפיזם הראשון לחוגים קובע שלכל הומומורפיזם <math>\ \phi : R \rightarrow S</math> מתקיים <math>\ R/\operatorname{Ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi)</math>. == הרצאה שתים-עשרה == לכל איבר a בחוג R, קבוצת הכפולות <math>\ Ra = \{xa : x \in R\}</math> של a היא אידיאל; אידיאל מסוג זה נקרא '''אידיאל ראשי'''. הגדרנו אידיאל מקסימלי; אידיאל (בחוג קומוטטיבי) הוא מקסימלי אם ורק אם המנה ביחס אליו היא שדה; בפרט, אידיאל האפס מקסימלי אם ורק אם החוג הוא שדה. הגדרנו אידיאל ראשוני. אידיאל הוא ראשוני אם ורק אם המנה ביחס אליו היא '''תחום שלמות''' (כלומר, חוג קומוטטיבי שאין בו מחלקי אפס. איבר <math>\ a \neq 0</math> הוא מחלק אפס אם יש איבר <math>\ b\neq 0</math> כך ש- <math>\ ab = 0</math>). בפרט, אפס הוא אידיאל ראשוני אם ורק אם החוג הוא תחום שלמות. כל תת-חוג של שדה הוא תחום שלמות (גם ההיפך נכון: כל תחום שלמות מוכל בשדה, הקרוי "שדה השברים" שלו). בפרט, כל שדה הוא תחום שלמות, ולכן כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני. התכונות הבסיסיות של אברים בתחום שלמות סובבות סביב יחס החלוקה. כמו בשעור הראשון, <math>\ a|b</math> (קרי, a מחלק את b) אם קיים בחוג איבר c כך ש- <math>\ b = ac</math>. איבר הוא הפיך (ביחס לכפל!) אם ורק אם הוא מחלק את 1. מגדירים יחס '''חברות''', <math>\ a\sim b</math> אם a ו-b מחלקים זה את זה; באופן שקול, אם אחד מהם הוא כפולת השני באיבר הפיך. (שימו לב שהשקילות מניחה שבחוג אין מחלקי אפס). איבר הוא אי-פריק אם אין לו מחלקים פרט לחבריו וההפיכים. איבר הוא ראשוני אם כשהוא מחלק מכפלה הוא מוכרח לחלק את אחד הגורמים שלה. p הוא איבר כזה אם ורק אם האידיאל הראשי ש-p יוצר, Rp, הוא ראשוני. כל איבר ראשוני הוא אי-פריק (אבל ההיפך לא בהכרח נכון). בכל תחום שלמות, אם איבר מתפרק כמכפלה של גורמים ראשוניים, אז אין לו פירוק אחר לגורמים אי-פריקים. הגדרנו '''חוג אוקלידי''', והראינו שאם a,b שונים מאפס, אז <math>\ d(a)=d(ab)</math> אם ורק אם b הפיך. מכאן נובע באינדוקציה שכל איבר בחוג אוקלידי הוא מכפלה של איברים אי-פריקים. הוכחנו גם שכל אידיאל של חוג אוקלידי הוא ראשי (לדוגמא, האידיאל <math>\ \mathbb{Z}n+\mathbb{Z}m</math> של <math>\ \mathbb{Z}</math> הוא ראשי; זהו המשפט שהוכחנו בשעור הראשון). מכאן נובע שבחוג אוקלידי, כל איבר אי-פריק יוצר אידיאל מקסימלי, ולכן הוא ראשוני. כלומר, בחוג אוקלידי המושגים "ראשוני" ו"אי-פריק" מתלכדים. בתרגיל תראו שחוג הפולינומים מעל שדה, <math>\ F[\lambda] = \{a_n\lambda^n+\cdots+a_1\lambda+a_0 : a_0,\dots,a_n\in F\}</math>, הוא חוג אוקלידי. מכאן שכל פולינום מתפרק לגורמים אי-פריקים באופן יחיד, ושהאידיאל הנוצר על-ידי איבר אי-פריק הוא מקסימלי. == הרצאה שלוש-עשרה == המטרה היא לבנות שדות סופיים. הגדרנו את ה'''מאפיין''' של שדה, שהוא הסדר של 1 בחבורה החיבורית של השדה (אם הסדר הוא אינסופי, אומרים שהמאפיין שווה לאפס. לפי ההגדרה הזו, המאפיין הוא היוצר של הגרעין של ההומומורפיזם היחיד מחוג השלמים אל השדה). המאפיין הוא תמיד אפס או מספר ראשוני. לשדה סופי יש מאפיין ראשוני. כל שדה ממאפיין ראשוני p מכיל עותק של השדה מסדר p. אם שדה מכיל תת-שדה, אז הוא מהווה מרחב וקטורי מעליו, ויש לו מימד. מספר האברים במרחב וקטורי n ממדי מעל שדה F שווה ל- <math>\ |F|^n</math>, ולכן מספר האברים בכל שדה סופי הוא חזקה של ראשוני. לפולינום <math>\ f(\lambda)</math> יש שורש a אם ורק אם <math>\ (\lambda-a)|f(\lambda)</math>. בגלל הפירוק היחיד לגורמים, נובע מכאן שמספר השורשים של פולינום חסום על-ידי המעלה שלו. לכל פולינום f, חוג המנה <math>\ F[\lambda]/\langle f(\lambda)\rangle</math> הוא מרחב וקטורי ממימד השווה למעלת f; אם f אי-פריק, זהו שדה, המכיל שורש של הפולינום. באינדוקציה, יוצא מזה שאפשר לבנות לכל פולינום "שדה מפצל" (שהוא שדה שבו הפולינום מתפרק למכפלה של גורמים ליניאריים). כדי לבנות שדה מסדר <math>\ q=p^n</math>, מתבוננים בפולינום <math>\ \lambda^q - \lambda</math> מעל השדה מסדר p. בתוך שדה מפצל שלו, כל השורשים שונים זה מזה, ולכן יש בדיוק q שורשים. בשל האדיטיביות של העלאה בחזקת q, מתברר שאוסף השורשים הוא שדה - מסדר q, כנדרש. לכל n יש פולינום אי-פריק ממעלה n מעל השדה מסדר p, ופולינומים כאלה מאפשרים לבנות את השדה מסדר <math>\ p^n</math> באופן ישיר. אם מקדישים תשומת לב רבה יותר לשדות פיצול, אפשר להוכיח שהשדה מסדר q הוא יחיד (עד כדי איזומורפיזם).
