התאוריה של חבורות אבליות סופיות מסוכמת ב'''משפט''' הבא: כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה <math>\ \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_t}</math>, כאשר <math>\ d_1|\cdots | d_t</math>. את הקיום מוכיחים על-ידי קיבוץ מרכיבי-p הגדולים ביותר לכדי המרכיב האחרון, הגדולים ביותר מאלו שנותרו מרכיבים את המרכיב השני בגודלו, וכן הלאה. את היחידות אפשר להוכיח על-ידי שמראים שאפשר לחשב את <math>\ d_1</math> מתוך החבורה. אכן, מספר הגורמים t הוא הערך המקסימלי שהפונקציה <math>\ \log_p|A/pA|</math> מקבלת; ובנוסף לזה, <math>\ |p^{\ell-1}A/p^\ell A| = p^t</math> אם ורק אם <math>\ p^\ell | d_1</math>. מובן שמחזקות הראשוניים המחלקות את המספר אפשר לשחזר אותו באופן מלא. (בכתה הראינו שיטה אחרת - ראו תרגיל 10.6.5 בחוברת).
== שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים ==
מכיוון שהקדשנו זמן להעמקה בתורת החבורות, נותר מעט מאד זמן לטיפול בשדות סופיים. כדי לכסות נושא זה היטב יש להקדים כמה מושגים בתורת החוגים, ולכך לא נשאר זמן. אציג להלן את התוצאות המרכזיות שברצוני לכלול בקורס, בלי צורך בשדות.
1. '''שדות'''. מערכת אלגברית שיש בה שתי פעולות ("חיבור" ו"כפל") היא שדה, אם היא חבורה אבלית ביחס לראשונה, חבורה אבלית כאשר זורקים את איבר האפס ביחס לשניה, ומתקיימת בה דיסטריבוטיביות: <math>\ a(b+c)=ab+ac</math>. החבורה הראשונה נקראת "החבורה החיבורית של השדה", והשניה "החבורה הכפלית של השדה".
דוגמאות: המספרים הממשיים, המספרים המרוכבים, המספרים הרציונליים; וכן <math>\ \mathbb{Z}_p</math> כאשר p ראשוני.
העתקה חד-חד-ערכית ועל בין שדות השומרת על החיבור והכפל נקראת '''איזומורפיזם'''.
2. '''תת-שדות'''. תת-קבוצה (לא ריקה) של שדה, שהיא שדה ביחס לפעולות המושרות, נקראת '''תת-שדה'''. תכונה זו שקולה לכך שתת-הקבוצה סגורה ביחס לחיבור וכפל, ויש בה נגדי לכל איבר והפכי לכל איבר שונה מאפס. כזכור, הוכחנו שכל מונויד סופי עם צמצום הוא חבורה. מכך אפשר להסיק שעל-מנת שתת-קבוצה *סופית* של שדה תהיה תת-שדה, די שתהיה סגורה לחיבור ולכפל.
'''הערה'''. אם K שדה ו-F תת-שדה שלו, אז K הוא מרחב וקטורי מעל F.
3. לכל שדה יש '''מאפיין''', שהוא הסדר של 1 (איבר היחידה של החבורה הכפלית) בחבורה החיבורית, כלומר, המספר הקטן ביותר של פעמים שיש לחבר את 1 לעצמו עד שמגיעים ל-0. אם אין מספר כזה (כלומר, 1 הוא מסדר אינסופי), אומרים שהמאפיין הוא אפס (ולא "אינסוף", מסיבות שלא נעמוד עליהן כאן).
'''טענה'''. המאפיין של שדה הוא או אפס, או מספר ראשוני.
'''טענה'''. יהי F שדה ממאפיין ראשוני p. אז תת-החבורה החיבורית הנוצרת על-ידי 1 (הכוללת כמובן את <math>\ 0,1,\dots,p-1</math>) היא תת-שדה, שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>.
4. '''סדרים אפשריים'''. יהי F שדה סופי. אז המאפיין שלו סופי, ולכן ראשוני, שנסמן ב-p. לכן יש ל-F תת-שדה האיזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>. לכן F הוא מרחב-וקטורי מעל שדה זה. אבל המימד שלו סופי. לכן הוא איזומורפי (כמרחב וקטורי!) למרחב ה-n-יות <math>\ \mathbb{Z}_p^n</math>. לכן <math>\ |F|= p^n</math>.
'''סיכום'''. הסדר של שדה סופי הוא חזקת ראשוני.
המשפט העיקרי שנוכיח בהמשך הוא שלכל חזקת ראשוני q, '''קיים''' שדה מסדר q. למען האמת השדה הזה הוא יחיד (ונקרא "שדה גלואה מסדר q"), אבל לא נוכל להוכיח זאת כאן.
5. '''חוג הפולינומים''' (בלי להגדיר "חוג"). אם F שדה, אוסף הפולינומים במשתנה אחד מעליו, עם פעולות החיבור והכפל הטבעיות של פולינומים, נקרא '''חוג הפולינומים''' מעל F, ומסמנים אותו בסימון <math>\ F[x]</math> (או <math>\ F[y]</math>; שם המשתנה אינו חשוב). כל איבר של <math>\ F[x]</math> נקרא "פולינום מעל F". אם <math>\ F \subset K</math> תת-שדה, אז יש הכלה טבעית <math>\ F[x] \subset K[x]</math>, ולכן כל פולינום מעל F הוא באופן אוטומטי גם פולינום מעל K.
6. '''המעלה'''. המעלה היא פונקציה <math>\ F[x]\rightarrow \mathbb{N}\cup \{-\infty\}</math>, המוגדרת לפי החזקה העליונה הנוכחת בפולינום. פולינום ממעלה אפס נקרא '''סקלר'''. פונקציית המעלה מקיימת: <math>\ \deg(fg) = \deg(f)\deg(g)</math> ו- <math>\ \deg(f+g) \leq \max\{\deg(f),\deg(g)\}</math>.
7. '''חילוק עם שארית'''. לכל פולינום <math>\ g \neq 0</math>: לכל פולינום f אפשר לכתוב <math>\ f = q g + r</math>, כאשר <math>\ q,r </math> פולינומים המקיימים <math>\ \deg(r) < \deg(g)</math>.
'''טענה'''. r כנ"ל הוא יחיד, ולכן אפשר להגדיר את ה'''שארית של f מודולו g''' להיות r.
8. '''תרגיל'''. יהי <math>\ f(x) = a_0+\cdots+a_nx^n</math> פולינום מעל שדה F, ויהי <math>\ t \in F</math> איבר של השדה. אז השארית של f מודולו <math>\ x-t</math> היא הסקלר <math>\ f(t) = a_0+\cdots+a_nt^n</math>.
'''שורשים'''. איבר <math>\ t\in F</math> הוא '''שורש''' של f, אם <math>\ f(t) = 0</math>. הוכחנו, אם כך, ש-<math>\ t</math> שורש של f אם ורק אם <math>\ x-t</math> מחלק את f.
9. '''משפט'''. לכל שני פולינומים <math>\ f,g</math> יש פולינומים <math>\ a,b</math> כך ש-<math>\ d= af+bg</math> מחלק את f ואת g. ברור שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את d, ולכן הוא '''מחלק משותף מקסימלי'''. הוכחנו, אם כך, עבור פולינומים, את התכונה שהוכחנו למספרים בשעור הראשון: המחלק המשותף המקסימלי של f,g הוא צירוף שלהם.
10. פולינום h נקרא '''אי-פריק''' אם בכל פירוק שלו אחד הגורמים הוא סקלר. חשוב להבין שתכונה זו תלויה בשדה. למשל, הפולינום <math>\ x^2+1</math> הוא אי-פריק מעל הממשיים, אבל פריק מעל המרוכבים. פולינום אי-פריק h מתנהג כמו מספר שלם ראשוני, במובן הבא: אם h אינו מחלק את הפולינום f, אז המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, ולכן יש צירוף שלם af+bh=1.
'''משפט'''. לכל פולינום יש פירוק לגורמים ראשוניים. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה.
(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).
11. '''פעולות מודולו פולינום'''. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים <math>\ F[x]</math>). נתבונן באוסף הפולינומים <math>\ \{f \in F[x] : \deg(f) < \deg(h)\}</math>, עם פעולות החיבור והכפל מודולו h (כלומר, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h). מסמנים אותו, מסיבות שאפשר לנחש אך לא נכנס אליהן כאן, בסימון <math>\ F[x]/\langle h\rangle</math>.
'''משפט'''. <math>\ F[x]/\langle h\rangle</math> הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).
'''הערה'''. <math>\ F[x]/\langle h\rangle</math> מכיל עותק של F, כתת-שדה. לכן (אבל גם ישירות) הוא מרחב וקטורי מעל F, וממדו שווה למעלה של h.
12. '''משפט'''. יהי f פולינום מעל שדה F. אז יש שדה הרחבה K (כלומר, שדה K המכיל את F כתת-שדה), שבו יש ל-f שורש.
'''הוכחה'''. נבחר גורם אי-פריק h של f (סעיף 10). נבחר <math>\ K = F[x]/\langle h \rangle</math>. בשדה הזה, האיבר x (מודול h) הוא שורש של h (!), ולכן גם שורש של f.
13. שדה K '''מפצל''' את הפולינום f, אם אפשר לכתוב אותו כמכפלה של גורמים ליניאריים מעל K,
<math>\ f(x) = (x-t_1)\cdots(x-t_n)</math>. (במקרה כזה אומרים גם ש-f '''מתפצל''' ב-K). כמובן, כל <math>\ t_i</math> הוא שורש של f, ואלו הם כל השורשים של f בשדה הזה. לכן מספר השורשים של פולינום, בשדה המפצל אותו, אינו עולה על המעלה שלו.
'''משפט'''. לכל פולינום f מעל שדה F יש שדה מפצל. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה. אם f ממעלה 1 אין מה להוכיח. אם f פריק סיימנו. אחרת יש ל-f שורש בשדה <math>\ F_1 = F[x]/\langle f /rangle</math>, ושם (כאיבר <math>\ f(y)\in F_1[y]</math>) הוא מתפרק לשני גורמים: <math>\ f(y) = (y-x)f_1(y)</math>, כאשר <math>\ \deg(f_1)<\deg(f)</math>. לפי הנחת האינדוקציה יש הרחבה של <math>\ F_1</math> שמפצלת את <math>\ f_1</math>, והיא מפצלת גם את f.
14. ('''אוטומורפיזם פרובניוס'''). יהי F שדה עם מאפיין p. אז <math>\ (a+b)^p = a^p+b^p</math> (לפי הפיתוח הבינומי: p מחלק כל מקדם בינומי למעט הראשון והאחרון), ולכן תכונה זו מתקיימת אם מחליפים את p בחזקה של p.
15. '''הנגזרת הפורמלית'''. לכל פולינום, מעל כל שדה, אפשר להגדיר נגזרת לפי <math>\ (a_0+\cdots+a_nx^n) = a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}</math>. "חוק לייבניץ" <math>\ (fg)' = fg'+f'g</math> תקף ללא מגבלות.
16. '''ספרביליות'''. יהי f פולינום המתפצל בשדה f. אם יש לו פחות מ-n שורשים, אז בפירוק שלו לגורמים לינאריים מופיע גורם כלשהו פעמיים, ואז הגורם הזה מחלק את <math>\ f'</math>.
17. יהי q חזקה של ראשוני p. נתבונן בפולינום <math>\ x^q-x</math> מעל השדה <math>\ \mathbb{Z}_p</math>. לפי סעיף 13 יש לו שדה מפצל, K. נאסוף את השורשים של הפולינום לקבוצה <math>\ K_0 = \{t \in K: t^q=t\}</math>. בקבוצה הזו לכל היותר q אברים (סעיף 13). מצד שני לא יכולים להיות בה פחות מ-q אברים לפי סעיף 16, שהרי <math>\ (x^q-x)' = qx^{q-1}-1 = -1</math>. לכן <math>\ |K_0|=q</math>. כעת, הקבוצה הזו סגורה לחיבור (סעיף 14) ולכפל, ולפי סעיף 2 היא שדה - מסדר q, כמובטח.