15. '''הנגזרת הפורמלית'''. לכל פולינום, מעל כל שדה, אפשר להגדיר נגזרת לפי <math>\ (a_0+\cdots+a_nx^n) = a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}</math>. "חוק לייבניץ" <math>\ (fg)' = fg'+f'g</math> תקף ללא מגבלות.
16. ('''ספרביליות'''). יהי f פולינום המתפצל בשדה f. אם יש לו פחות מ-n שורשים, אז בפירוק שלו לגורמים לינאריים מופיע גורם כלשהו פעמיים, ואז הגורם הזה מחלק את <math>\ f'</math>.
17. יהי q חזקה של ראשוני p. '''משפט'''. קיים שדה מסדר q. '''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^q-x</math> מעל השדה <math>\ \mathbb{Z}_p</math>. לפי סעיף 13 יש לו שדה מפצל, K. נאסוף את השורשים של הפולינום לקבוצה <math>\ K_0 = \{t \in K: t^q=t\}</math>. בקבוצה הזו לכל היותר q אברים (סעיף 13). מצד שני לא יכולים להיות בה פחות מ-q אברים לפי סעיף 16, שהרי <math>\ (x^q-x)' = qx^{q-1}-1 = -1</math>. לכן <math>\ |K_0|=q</math>. כעת, הקבוצה הזו סגורה לחיבור (סעיף 14) ולכפל, ולפי סעיף 2 היא שדה - מסדר q, כמובטח.