'''משפט'''. לכל פולינום f מעל שדה F יש שדה מפצל. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה. אם f ממעלה 1 אין מה להוכיח. אם f פריק סיימנו. אחרת יש ל-f שורש בשדה <math>\ F_1 = F[x]/F[x]f</math>, ושם (כאיבר <math>\ f(y)\in F_1[y]</math>) הוא מתפרק לשני גורמים: <math>\ f(y) = (y-x)f_1(y)</math>, כאשר <math>\ \deg(f_1)<\deg(f)</math>. לפי הנחת האינדוקציה יש הרחבה של <math>\ F_1</math> שמפצלת את <math>\ f_1</math>, והיא מפצלת גם את f.
'''הערה'''. נתבונן בפירוק של f לגורמים ליניאריים, <math>\ f(x) = (x-t_1)\cdots (x-t_n)</math>; אז איבר s של השדה הוא שורש אם ורק אם הוא אחד ה-<math>\ t_i</math>, ומכאן שלפולינום יש לכל היותר <math>\ n =\deg(f)</math> שורשים.
'''מסקנה'''. בכל שדה, לפולינום ממעלה n יש לכל היותר n שורשים (משום שהשורשים נשארים כאלה גם בשדה מפצל).
14. ('''אוטומורפיזם פרובניוס'''). יהי F שדה עם מאפיין p. אז <math>\ (a+b)^p = a^p+b^p</math> (לפי הפיתוח הבינומי: p מחלק כל מקדם בינומי למעט הראשון והאחרון), ולכן תכונה זו מתקיימת אם מחליפים את p בחזקה של p.