לדוגמא, החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> ציקלית, משום שהיא נוצרת על-ידי המחלקה <math>\ [1]</math>. הסדר של a בחבורה הזו הוא <math>\ n/(a,n)</math>, ולכן יש בדיוק <math>\ \phi(n/e)</math> אברים מכל סדר n/e. בפרט, יש לחבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> בדיוק <math>\ \phi(n)</math> יוצרים.
== הרצאה חמישית ==
כל תת-חבורה של <math>\ \mathbb{Z}_n</math> נוצרת על-ידי איבר המחלק את n; אם a|n, אז הסדר של החבורה הנוצרת על-ידי a הוא n/a, ולכן, אם H תת-חבורה של <math>\ \mathbb{Z}_n</math> מסדר d, היא שווה לחבורה הציקלית <n/d>. כלומר, לחבורות ציקליות יש תת-חבורה יחידה מכל סדר שמשפט לגרנז' מתיר.
מגדירים את המכפלה של תת-חבורות כקבוצה של כל המכפלות האפשריות: <math>\ AB=\{ab | a\in A, b\in B\}$</math>. באופן דומה אפשר להגדיר, לכל קבוצה בחבורה, <math>\ S^{-1}=\{s^{-1} | s\in S\}</math>. הוכחנו שאם A,B תת-חבורות, אז המכפלה AB תת-חבורה אם ורק אם AB=BA.
הגדרנו '''הומומורפיזם''' (העתקה מחבורה G לחבורה H, השומרת על הכפל (ולכן גם על איבר היחידה ועל פעולת ההיפוך)). התמונה של הומומורפיזם היא תת-חבורה של H, והגרעין הוא תת-חבורה של G. הומומורפיזם הוא חד-חד-ערכי אם ורק אם הגרעין שלו טריוויאלי. ראינו שכל תת-חבורה יכולה להיות תמונה של הומומורפיזם כלשהו. מאידך, לא כל תת-חבורה יכולה להיות גרעין של הומומורפיזם: לתת-חבורות כאלה נקרא בשעור הבא "תת-חבורות נורמליות", ובינתיים אנו מגדירים אותן על-פי התכונה <math>\ aH=Ha</math> לכל a, ותכונות השקולות לה.
תת-חבורה H של G המקיימת את התנאי <math>\ aHa^{-1} \subset H</math> לכל <math>\ a\in G</math>, (או כל אחד מהתנאים השקולים לכך) נקראת '''תת-חבורה נורמלית'''.
== הרצאה ששית ==
אם <math>\ N\leq G</math> תת-חבורה נורמלית, מסמנים <math>\ N \triangleleft G</math>. הוכחנו שתת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם המכפלה של קוסטים היא קוסט. את אוסף הקוסטים אפשר להפוך לחבורה, הקרויה '''חבורת המנה''', <math>\ G/N</math>. כמובן, <math>\ |G/N| = [G:N]</math>. קיומה של חבורת המנה מאפשר להוכיח קריטריון נוסף: תת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם היא גרעין להומומורפיזם כלשהו (ההעתקה <math>\ \theta : G \rightarrow G/N</math> לפי <math>\ \theta(x) = xN</math> היא הומומורפיזם, ו- <math>\ \operatorname{Ker}(\theta) = N</math>). כלומר: תת-חבורות נורמליות של G = גרעינים של הומומורפיזמים מ-G.
הוכחנו את '''משפט האיזומורפיזם הראשון''': לכל הומומורפיזם <math>\ \phi : G \rightarrow H</math>,
<math>\ G/\operatorname{Ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi)</math>. מעכשיו, אם נרצה להוכיח ש- <math>\ G/K \cong H</math>, מספיק יהיה לבנות אפימורפיזם (=הומומורפיזם על( <math>\ G \rightarrow H</math> שהגרעין שלו הוא K.
ראינו שנורמליות מחלחלת כלפי מטה: אם <math>\ K \triangleleft G</math> ו- <math>\ H \leq G</math>, אז <math>\ K \cap H \triangleleft H</math>. בפרט (אם מניחים <math>\ K \sub H</math>) נורמליות עוברת בתורשה לתת-חבורה. מאידך, נורמליות אינה טרנזיטיבית: יתכן ש- <math>N \triangleleft H \triangleleft G</math> ובכל זאת <math>\ N \not \triangleleft G</math>.
אם <math>\ N \triangleleft G</math> ו- <math>\ H \leq G</math> אז <math>\ NH</math> תמיד תת-חבורה; יתרה מזו, המכפלה של תת-חבורות נורמליות היא נורמלית.
הוכחנו, בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון, את משפט האיזומורפיזם השני (אם <math>\ N,H\leq G</math> ו-N נורמלית אז <math>\ H/(N\cap H)\cong HN/N</math>).
== הרצאה שביעית ==
הוכחנו, שוב בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון, את משפט האיזומורפיזם השלישי (אם <math>\ K \leq N \leq G</math> ושתיהן נורמליות ב-G, אז <math>\ (G/K)/(N/K) \cong G/N</math>).
הסברנו את ההתאמה בין אוסף תת-החבורות של G המכילות תת-חבורה נורמלית K, לבין אוסף תת-החבורות של חבורת המנה G/K. ההתאמה הזו שומרת (בשני הכיוונים) על הכלה, ולכן היא חד-חד-ערכית ושומרת על חיתוך ומכפלה. היא שומרת גם על נורמליות ועל מנות ואינדקסים. '''תרגיל'''. נסח את הטענות האלה במפורש, והוכח אחת או שתיים מהן.
הגדרנו כמה מושגים הקשורים באברים מתחלפים: המרכז (מם צרויה) של חבורה G הוא אוסף האברים <math>\ Z(G)</math> המתחלפים עם כל אברי החבורה. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית. הראינו שהמרכז של החבורה הסימטרית הוא טריוויאלי.
המרכז (ריש פתוחה) של איבר g הוא אוסף האברים המתחלפים איתו, והמרכז (כנ"ל) של תת-חבורה הוא אוסף האברים המתחלפים עם כל איבר בחבורה. '''תרגיל''': כתוב, כפסוק על אברים בלבד, את שלוש הטענות הבאות: <math>\ A \subseteq C_G(B)</math>; <math>\ AB = BA</math>; <math>\ A \triangleleft AB</math>.
אברים x,g מתחלפים אם ורק אם הצמדת g על-ידי x אינה משנה את האיבר. ברוח זו, הגדרנו את יחס הצמידות על החבורה: שני אברים הם צמודים אם אפשר להגיע מאחד לשני על-ידי הצמדה, כלומר, הצמודים של x הם האברים מהצורה <math>\ g x g^{-1}</math>. הוכחנו שמספר האברים במחלקת הצמידות של a שווה לאינדקס <math>\ [G:C_G(a)]</math> של המרכז של האיבר בחבורה (ומכאן שמספר האברים הזה מחלק את סדר החבורה).
הפירוק של חבורה לאיחוד של מחלקות צמידות קובע את '''שוויון המחלקות''' <math>\ |G|=|Z(G)|+\sum [G:C_G(x)]</math>, שבו הסכום באגף ימין הוא על נציג אחד מכל מחלקה של אברים לא מרכזיים (המחלקה של איבר מרכזי כוללת אותו בלבד).
משוויון המחלקות מסיקים של"חבורת-p" (חבורה מסדר <math>\ p^n</math>) יש מרכז לא טריוויאלי. הראינו שאם G חבורה לא אבלית, אז המנה <math>\ G/Z(G)</math> אינה יכולה להיות ציקלית. בעזרת שתי התוצאות האחרונות אפשר למיין את כל החבורות מסדר <math>\ p^2</math> (כולן אבליות, ובהמשך נראה שיש רק שתיים כאלה - <math>\ \mathbb{Z}_{p^2}</math> ו- <math>\ \mathbb{Z}_p^2</math>), ואת כל החבורות הלא-אבליות מסדר <math>\ p^3</math> (יש שתיים).
== הרצאה שמינית ==
אם H תת-חבורה נתונה, נסמן ב- <math>\ N_G(H) = \{g\in G: gHg^{-1} =H\}</math> את ה'''מנרמל''' של H. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבתוכה H נורמלית. הראינו שהאינדקס של המנרמל שווה למספר תת-החבורות של G הצמודות ל-H.
חבורת האוטומורפיזמים של חבורה G כוללת, לפי ההגדרה, את כל האוטומורפיזמים של החבורה (אלו הם הומומורפיזמים חד-חד-ערכיים ועל, מן החבורה אל עצמה). הצמדה באיבר של G מגדירה אוטומורפיזם, והפונקציה המתאימה לכל איבר את ההצמדה בו-עצמו היא הומומורפיזם, שהגרעין שלו הוא מרכז החבורה. התמונה נקראת "חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים", והיא תת-חבורה נורמלית של חבורת האוטומורפיזמים.