חבורת האוטומורפיזמים של חבורה G כוללת, לפי ההגדרה, את כל האוטומורפיזמים של החבורה (אלו הם הומומורפיזמים חד-חד-ערכיים ועל, מן החבורה אל עצמה). הצמדה באיבר של G מגדירה אוטומורפיזם, והפונקציה המתאימה לכל איבר את ההצמדה בו-עצמו היא הומומורפיזם, שהגרעין שלו הוא מרכז החבורה. התמונה נקראת "חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים", והיא תת-חבורה נורמלית של חבורת האוטומורפיזמים.
לאחר שהוברר שהצמדה מסוגלת להגדיר אוטומורפיזמים על החבורה, אפשר להשתמש בשיטה הזו גם כדי להגדיר אוטומורפיזמים של תת-חבורות. אם H תת-חבורה נתונה, נסמן ב- <math>\ N_G(H) = \{g\in G: gHg^{-1} =H\}</math> את ה'''מנרמל''' של H. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבתוכה H נורמלית. שיטת ההצמדה מגדירה הומומורפיזם של המנרמל לתוך חבורת האוטומורפיזמים של H, שהגרעין שלו הוא המרכז <math>\ C_G(H)</math>. כך מתקבל "משפט N/C": המנה <math>\ N_G(H)/C_G(H)</math> איזומורפית לתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של H.
== הרצאה תשיעית ==
הוכחנו את משפט קיילי, הקובע שכל חבורה סופית איזומורפית לתת-חבורה של חבורת תמורות. '''תרגיל'''. הציגו את <math>\ S_3</math> בתור תת-חבורה של <math>\ S_6</math>. '''תרגיל'''. מיצאו את המספר n הקטן ביותר כך שאפשר לשכן את החבורה הציקלית מסדר 20 ב-<math>\ S_n</math>. כנ"ל עבור 21 ועבור 25.
הראינו שמחלקות הצמידות בחבורה הסימטרית ממויינות לפי מבנה המחזורים של התמורות.
== הרצאה עשירית ==
הגדרנו את הסימן של תמורה <math>\ \sigma</math> בתור הזוגיות של מספר 'הפרות הסדר', שהן זוגות <math>\ i<j</math> עם <math>\ \sigma(i)>\sigma(j)</math>. הפונקציה הזו היא הומומורפיזם <math>\ S_n \rightarrow \{\pm 1\}</math>. כל תמורה אפשר להציג כמכפלה של חילופים (לאו דווקא זרים, כמובן). מכיוון שלכל חילוף יש סימן אי-זוגי, הסימן קובע את הזוגיות של מספר החילופים בכל הצגה כזו.
הגרעין של העתקת הסימן, היינו אוסף כל התמורות הזוגיות, הוא תת-חבורה נורמלית מאינדקס 2 של <math>\,S_n</math>, שאותה מסמנים ב-<math>\,A_n</math>. כפי ש-<math>\,S_n</math> נוצרת על-ידי כל החילופים, <math>\,A_n</math> נוצרת על-ידי כל המחזורים מאורך 3. אם <math>\ n\geq 5</math> אז החבורה <math>\ A_n</math> פשוטה, כלומר, אין לה תת-חבורות נורמליות לא טריוויאליות.
== הרצאה אחת-עשרה ==
הוכחנו את משפט קושי: בכל חבורה (סופית) שהסדר שלה מתחלק ב-p, יש איברים מסדר p (הוכחנו את התוצאה בכמה שלבים: בחבורות ציקליות זהו תרגיל קל; בחבורות אבליות כלליות עוברים לחבורת מנה ביחס לתת-חבורה ציקלית ומסיימים באינדוקציה; בחבורות כלליות מפעילים את שוויון המחלקות).
הגדרנו קומוטטורים ואת תת-חבורת הקומוטטורים 'G. הראינו שחבורת המנה האבלית הגדולה ביותר של G היא <math>\ G/G'</math>.
הגדרנו מכפלה ישרה פנימית, והוכחנו שהיא איזומורפית למכפלה ישרה חיצונית.
מכאן עברנו לנתח חבורות אבליות. הגדרנו את האקספוננט של חבורה אבלית A, שהוא המספר e הקטן ביותר המקיים <math>\ x^e = 1</math> לכל <math>\ x\in A</math>. האקספוננט שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל הסדרים של אברים של A. לפי משפט קושי, הראשוניים המחלקים את סדר החבורה הם אותם ראשוניים המחלקים את האקספוננט שלה.
בכל חבורה אבלית יש איבר מסדר השווה לאקספוננט שלה (בהמשך נשתמש במשפט רק עבור חבורות-p אבליות).
מכיוון שהחבורה A אבלית, פעולת ההעלאה בחזקת n היא הומומורפיזם, ואפשר להגדיר את הגרעין <math>\ A_n = \{x: x^n=1\}</math> והתמונה <math>\ A^n = \{x^n\}</math>. הראינו שחבורה אבלית מסדר nm, כאשר n,m זרים, היא מכפלה ישרה של תת-החבורות <math>\ A^n \times A^m</math>, שהסדרים שלהן m ו-n בהתאמה. באינדוקציה, נובע מכאן שכל חבורה אבלית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות מסדר חזקת ראשוני.
== הרצאה שתים-עשרה ==
המשפט המרכזי על חבורות-p אבליות קובע שאם H תת-חבורה ציקלית של A שסדרה שווה לאקספוננט של A (ותמיד קיימת כזו), אז A מתפרקת למכפלה ישרה של H ותת-חבורה נוספת. מכאן נובע, באינדוקציה, שכל חבורת-p אבלית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות. בשילוב עם התוצאה הקודמת, קיבלנו שכל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות.
התאוריה של חבורות אבליות סופיות מסוכמת ב'''משפט''' הבא: כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה <math>\ \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_t}</math>, כאשר <math>\ d_1|\cdots | d_t</math>. את הקיום מוכיחים על-ידי קיבוץ מרכיבי-p הגדולים ביותר לכדי המרכיב האחרון, הגדולים ביותר מאלו שנותרו מרכיבים את המרכיב השני בגודלו, וכן הלאה. את היחידות אפשר להוכיח על-ידי שמראים שאפשר לחשב את <math>\ d_1</math> מתוך החבורה. אכן, מספר הגורמים t הוא הערך המקסימלי שהפונקציה <math>\ \log_p|A/pA|</math> מקבלת; ובנוסף לזה, <math>\ |p^{\ell-1}A/p^\ell A| = p^t</math> אם ורק אם <math>\ p^\ell | d_1</math>. מובן שמחזקות הראשוניים המחלקות את המספר אפשר לשחזר אותו באופן מלא. (בכתה הראינו שיטה אחרת - ראו תרגיל 10.6.5 בחוברת).