שינויים
/* הרצאה שתים-עשרה */
המשפט המרכזי על חבורות-p אבליות קובע שאם H תת-חבורה ציקלית של A שסדרה שווה לאקספוננט של A (ותמיד קיימת כזו), אז A מתפרקת למכפלה ישרה של H ותת-חבורה נוספת. מכאן נובע, באינדוקציה, שכל חבורת-p אבלית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות. בשילוב עם התוצאה הקודמת, קיבלנו שכל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות.
התאוריה של חבורות אבליות סופיות מסוכמת ב'''משפט''' הבא: כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה <math>\ \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_t}</math>, כאשר <math>\ d_1|\cdots | d_t</math>. את הקיום מוכיחים על-ידי קיבוץ מרכיבי-p הגדולים ביותר לכדי המרכיב האחרון, הגדולים ביותר מאלו שנותרו מרכיבים את המרכיב השני בגודלו, וכן הלאה. את היחידות אפשר להוכיח על-ידי שמראים שאפשר לחשב את <math>\ d_1</math> מתוך החבורה. אכן, מספר הגורמים t הוא הערך המקסימלי שהפונקציה <math>\ f(p) = \log_p|A/pA|</math> מקבלת; ובנוסף לזה, <math>\ |p^{\ell-1}A/p^\ell A| = p^t</math> אם ורק אם <math>\ p^\ell | d_1</math>. מובן שמחזקות הראשוניים המחלקות את המספר אפשר לשחזר אותו באופן מלא. (בכתה הראינו שיטה אחרת - ראו תרגיל 10.6.5 בחוברת).
== שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים ==
