10. פולינום h נקרא '''אי-פריק''' אם בכל פירוק שלו אחד הגורמים הוא סקלר. חשוב להבין שתכונה זו תלויה בשדה. למשל, הפולינום <math>\ x^2+1</math> הוא אי-פריק מעל הממשיים, אבל פריק מעל המרוכבים. פולינום אי-פריק h מתנהג כמו מספר שלם ראשוני, במובן הבא: אם h אינו מחלק את הפולינום f, אז המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, ולכן יש צירוף שלם af+bh=1.
'''משפט'''. לכל פולינום יש פירוק לגורמים ראשונייםאי-פריקים. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה.
(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).
11. '''פעולות מודולו פולינום'''. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים <math>\ F[x]</math>), ממעלה n. נתבונן באוסף הפולינומים בחבורת המנה (ביחס לחיבור), <math>\ \{f \in F[x] : \deg(f) < \deg(/F[x]h)\}</math>, עם פעולות החיבור והכפל פעולת הכפל מודולו h (כלומר. בחבורה הזו יש לכל קוסט נציג יחיד ממעלה קטנה מ-n. אם כך, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h). מסמנים אותו, מסיבות שאפשר לנחש אך לא נכנס אליהן כאן, בסימון <math>\ F[x]/\langle h\rangle</math>.
'''משפט'''. <math>\ F[x]/\langle F[x]h\rangle</math> הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).
'''הערה'''. <math>\ F[x]/\langle F[x]h\rangle</math> מכיל עותק של F, כתת-שדה. לכן (אבל גם ישירות) הוא מרחב וקטורי מעל F, וממדו שווה למעלה של h.
12. '''משפט'''. יהי f פולינום מעל שדה F. אז יש שדה הרחבה K (כלומר, שדה K המכיל את F כתת-שדה), שבו יש ל-f שורש.
'''הוכחה'''. נבחר גורם אי-פריק h של f (סעיף 10). נבחר <math>\ K = F[x]/\langle F[x]h \rangle</math>. בשדה הזה, האיבר x (מודול h) הוא שורש של h (!), ולכן גם שורש של f.
13. שדה K '''מפצל''' את הפולינום f, אם אפשר לכתוב אותו כמכפלה של גורמים ליניאריים מעל K,
<math>\ f(x) = (x-t_1)\cdots(x-t_n)</math>. (במקרה כזה אומרים גם ש-f '''מתפצל''' ב-K). כמובן, כל <math>\ t_i</math> הוא שורש של f, ואלו הם כל השורשים של f בשדה הזה. לכן מספר השורשים של פולינום, בשדה המפצל אותו, אינו עולה על המעלה שלו.
'''משפט'''. לכל פולינום f מעל שדה F יש שדה מפצל. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה. אם f ממעלה 1 אין מה להוכיח. אם f פריק סיימנו. אחרת יש ל-f שורש בשדה <math>\ F_1 = F[x]/\langle F[x]f /rangle</math>, ושם (כאיבר <math>\ f(y)\in F_1[y]</math>) הוא מתפרק לשני גורמים: <math>\ f(y) = (y-x)f_1(y)</math>, כאשר <math>\ \deg(f_1)<\deg(f)</math>. לפי הנחת האינדוקציה יש הרחבה של <math>\ F_1</math> שמפצלת את <math>\ f_1</math>, והיא מפצלת גם את f.
14. ('''אוטומורפיזם פרובניוס'''). יהי F שדה עם מאפיין p. אז <math>\ (a+b)^p = a^p+b^p</math> (לפי הפיתוח הבינומי: p מחלק כל מקדם בינומי למעט הראשון והאחרון), ולכן תכונה זו מתקיימת אם מחליפים את p בחזקה של p.