המספר e

חזרה לסדרות

המספר e

לסדרה $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

$e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

משפט. תהי $a_n$ סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי $e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}$

משפט. תהי $a_n$ סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי $b_n$ סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי $e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}$

תרגיל.

חשב את גבול הסדרה $a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$

פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

$\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n=$

$=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}$

כיון ש- $\frac{-n}{n-1}\to(-1)$ אנו מקבלים כי

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e}$

תכונות

הסדרה $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$

הוכחה

אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

מובן מאליו כי

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$

אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

כמו כן:

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot1$

וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.

נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:

נסמן

$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$

רוצים להוכיח

$a_{n+1}<a_n$

כלומר

$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$

נפתח את אי-השוויון:

$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$

$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}$

כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:

$\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\frac{n+1}{n(n+2)}$

לכן מספיק להוכיח כי

$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}$

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:

$1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}$

דוגמאות

תרגיל.

מצא את גבול הסדרה $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}$

לכן לפי משפט אם $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L$ אזי גם $\sqrt[n]{a_n}\to L$ .

לכן הגבול הנו:

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e$