שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב

נוספו 1,013 בתים, 08:11, 20 באפריל 2012
/* פתרון */
=שאלה 1=
צטטו והוכיחו את [[משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) לייבניץ]] על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.
=שאלה 2=
ב.<math>\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}</math>
 
===פתרון===
 
א.
 
<math>\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}\frac{3x+2x^2}{3x+2x^2}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{3x+2x^2}(3+2x)}=e^3</math>
 
הערה: ניתן לפתור גם באמצעות לופיטל.
 
ב.
 
אין גבול, קל לראות שהחזקות חוזרות באופן מחזורי על 0,1 ומינוס 1, ולכן 0, אינסוף ואחד הם גבולות חלקיים '''שונים''' של הסדרה.
=שאלה 3=
ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math>
 
 
===פתרון===
 
א.
 
נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של
 
::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^n\sqrt[3]{ln(2^n)}}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{ln(2)}}</math>
 
וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד.
 
ב.
 
<math>\sum( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}=\sum \Big(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\Big)^{3-\frac{16}{n+6}}</math>
 
וזה קטן או שווה לטור '''המתכנס''':
 
::<math>\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}</math>
=שאלה 4=
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.
לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow f(x)</math> וקיבלנו את הדרוש.
ב.
=שאלה 6=
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.
 
===פתרון===
.... -_-
143
עריכות