שינויים

בדוגמא שלנו, נבחר העמודה הראשונה, השנייה והחמישית מהוות בסיס למרחב העמודות של A:

כעת נפתור את המערכת <math>a_1Au_1+a_2Au_2+a_3Au_3=0</math>, זהו בדיוק מרחב האפס של המטריצה שעמודותיה הן <math>Au_1,Au_2,Au_3</math>:  :<math>N \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\-1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = span\{(0,1,0),(-1,0,1)\}</math>  כיוון שאלו המקדמים <math>a_1,a_2,a_3</math> אנו מקבלים את בסיס ל <math>N(A)\cap C(A)</math>: :<math>\{u_2,u_3-u_1\}=\{Ae_2,A(e_5-e_1)\}</math>  '''הערה''': שימו לב ש<math>u3=Ae_5</math> כיוון שזו העמודה '''החמישית'''   כיוון ש <math>Ae_2=A^2e_1</math> אנו משמטים איבר זה ונשארים עם <math>A(e_5-e_1)</math>  *המסלול <math>A(e_5-e_1),e_5-e_1</math> משלים לנו את הבסיס המז'רדן.   ====סיכום====הבסיס המז'רדן הינו :<math>A^2e_1,Ae_1,e_1,A(e_5-e_1),e_5-e_1</math> נסמן בP את המטריצה שעמודותיה הן איברי הבסיס :<math>P=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}</math>  אזי (לא במפתיע) מתקיימת המשוואה הבאה:  :<math>P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}</math> כלומר זו צורת הז'ורדן של המטריצה A.