מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/2

חזרה למערכי השיעור

ערך מוחלט ואי שיוויונים

הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:

$|7|=|-7|=7$

ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:

$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}$

תכונות של הערך המוחלט

• לכל x מתקיים $|x|\geq 0$

• $|x|=0$ אם ורק אם $x=0$

• $|x\cdot y| = |x|\cdot |y|$

• $(|x|)^2=x^2$

• $x\leq |x|$

• אי שיוויון המשולש: $|x+y|\leq |x|+|y|$

• $||x|-|y||\leq |x-y|$

• $|x-y|$ הוא המרחק בין x לבין y

• נניח $L\geq 0$ אזי
  • $|x|\leq L$ אם ורק אם $-L\leq x\leq L$
  • $|x|\geq L$ אם ורק אם $x\geq L$ או $x\leq -L$

תכונות של אי שיוויונים

• $x\leq y$ אם ורק אם $-x\geq -y$

• נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $x^2\leq y^2$

• נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$

תרגילים

תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש

תרגיל: הוכח כי $||x|-|y||\leq |x-y|$

תרגיל: יהיו $x,y,z\in\mathbb{R}$ מספרים ממשיים. יהי $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:

$|x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2}$

הוכח כי $|x-z|\leq \epsilon$

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

$|2x-1|>|x-1|$

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

$(x-a)(x-b)>0$

(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)

תרגיל: נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי $f(n)=2n$ ואם n אינו זוגי אזי $f(n)=\frac{n}{2}$

האם יש פתרון למשוואה $f(n)=7$?

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

$|x^2-5x+4|>|x^2-5x|$

אי שיוויונים מעריכיים

נניח $a>1$, אזי

$a^x\leq a^y$ אם ורק אם $x\leq y$

תרגיל: נניח כי $a<1$ הוכח כי:

$a^x\leq a^y$ אם ורק אם $x\geq y$

תרגיל: מצא לאילו ערכים של $a,x$ מתקיים אי השיוויון הבא:

$a^x<1$

תרגיל: מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

$|x-1|^{x^2+2x} < \frac{1}{|x-1|}$

תרגיל: הראה כי

אם $a>1$ אזי

$\log_a(x)\leq\log_a(y)$ אם ורק אם $0<x\leq y$

ואם $a<1$ אזי

$\log_a(x)\leq\log_a(y)$ אם ורק אם $0<y\leq x$

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

$\log_3(x)>log_9(x+1)$