משפט המימדים

חזרה למשפטים בלינארית

משפט המימדים

יהי $V$ מ"ו נוצר סופית ויהיו $U,W$ תתי-מרחב של $V$ . אזי:

$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$

הוכחה

נסמן את הבסיס ל- $U\cap W$ ב- $\{v_1,v_2,\dots,v_k\}$ .

כיון ש- $U\cap W\subseteq U,W$ , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- $U$ ובאופן דומה לבסיס ל- $W$ .

נסמן את הבסיסים ב- $\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}$ .

נסמן את איחוד הבסיסים ב- $B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\}$ , ונוכיח כי $B$ הנו בסיס ל- $U+W$ .

$B$ פורש את $U+W$

יהי $u+w\in U+W$ . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, $u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m$.

ברור אם כך כי $u+w\in span(B)$

$B$ בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

$a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mw_m=0$.

נסמן $v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mw_m$

ברור משני אגפי המשוואה כי $v\in U \and v\in W$ ולכן $v\in U\cap W$

לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, $v=d_1v_1+...+d_kv_k$.

כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

$v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p$

ולכן $b_1=b_2=...=b_p=0$.

כעת קיבלנו כי $a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0$,

אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

ספירת מימדים וסיכום

מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

$dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)$