משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11

מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף‏ | 133 - הרצאה
גרסה מ־20:29, 29 ביולי 2012 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (בדיקה)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

את משפט 2 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־22.2.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

האינטגרל לפי דרבו (המשך)

משפט 3

תהי f מוגדרת וחסומה ב-[a,b]. אזי \underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) וכן \overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P).

הוכחה

הטענה הראשונה אומרת שלכל \varepsilon>0 קיים \delta>0 כך שאם |\lambda(P)|=\lambda(P)<\delta אזי \left|\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\right|<\varepsilon. ברור מהגדרת האינטגרל העליון כי 0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx. כעת יהי \varepsilon>0 נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של [a,b] כך ש-0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2 ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של [a,b] כך ש-\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}, ונגדיר R=P\cup Q. כיוון ש-R עידון של Q, \overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q) ונובע ש-0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2. לכן נוכל להסיק

0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon.

ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. \blacksquare

משפט 4

תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b] אם"ם \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 ואם כן \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P).

הוכחה

תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א \overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx. לכן, ממשפט 3, \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P). ע"פ אריתמטיקה של גבולות \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 וכן \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P).

עכשיו נניח ש-\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 ונוכיח את ההיפך. ממשפט 3 0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx-\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx ולכן f אינטגרבילית. \blacksquare

משפט 5

תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b] אם"ם לכל \varepsilon>0 קיימת חלוקה P של [a,b] כך ש-\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon.

הוכחה

אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0. לכן עבור \varepsilon>0 קיים \delta>0 כך שלכל P המקיימת \lambda(P)<\delta מתקיים \overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon.

לצד השני, נניח שלכל \varepsilon>0 קיימת חלוקה P כך שמתקיים \overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים \underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P). לפי הנתון נקבל 0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon. זה נכון לכל \varepsilon>0 ולכן \overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0, כלומר f אינטגרבילית ב-[a,b]. \blacksquare

משפט 6

תהי f רציפה ב-[a,b]. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b].

הוכחה

יהי \varepsilon>0. כיוון ש-f רציפה בקטע סגור [a,b] היא רציפה במ"ש, לכן קיים \delta>0 כך שאם x_1,x_2\in[a,b] ו-|x_1-x_2|<\delta אז |f(x_1)-f(x_2)|<\frac\varepsilon{b-a}. כעת תהי P חלוקה כלשהי של [a,b] כך ש-\lambda(P)<\delta. לפיכך \overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k כאשר M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} ו-m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}. כיוון ש-f רציפה ושעפ"י המשפט השני של ויירשראס לכל f רציפה ב-[a,b] יש שם נקודות מינימום ומקסימום, לכל k קיימים y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k] כך ש-f(y_k)=M_k ו-f(z_k)=m_k. כעת |y_k-z_k|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta, לכן M_k-m_k=|f(y_k)-f(z_k)|<\frac\varepsilon{b-a} ולבסוף

\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{b-a}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{b-a}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{b-a}(b-a)\\&=\varepsilon\end{align}

ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-[a,b]. \blacksquare

משפט 7

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע [a,b]. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b].

הוכחה

נוכיח לפונקציה עולה. לכל x\in[a,b] מתקיים f(a)\le f(x)\le f(b) ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P=\{x_0,\dots,x_n\} כלשהי של [a,b] המקיימת לכל k, \Delta x_k=\frac{b-a}n (ובפרט הם שווים) אזי \overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\Delta x_k.

מכאן נובע כי

\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}

נשאיף n\to\infty ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-\overline S(f,P)-\underline S(f,P) קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-[a,b]. \blacksquare