ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)


הערה: בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, V הוא מרחב וקטורי מעל השדה \mathbb{F}, וכן dim V=n. בנוסף, A\in M_n (\mathbb{F}).


הגדרה:

העתקה לינארית T:V\rightarrow V (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.


הגדרה:

תהי A\in M_n (\mathbb{F}). אומרים ש-\lambda\in\mathbb{F} הוא ערך עצמי (ע"ע) של A אם קיים וקטור 0\neq v\in\mathbb{F}^n שעבורו Av=\lambda v. הוקטור v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של A הקשור ל-\lambda.


הגדרה:

אוסף כל הע"ע של A נקרא הספקטרום של A, ומסומן spec(A).

הערה: יכול להיות המצב spec(A)=\varnothing.


משפט:

\lambda=0 הוא ע"ע של A אם ורק אם A אינה הפיכה.

הערה: A אינה הפיכה אם ורק אם det(A)=0.


משפט:

\lambda\in\mathbb{F} הוא ע"ע של מטריצה A\in M_n (\mathbb{F}) אם ורק אם det(\lambda I-A)=0.


דוגמה למציאת ע"ע:

A=I_n.

שיטה ראשונה: I_n v=\lambda v \Leftarrow v=\lambda v \Leftarrow \lambda=1 \Leftarrow spec(A)=\left \{1  \right \}.

שיטה שנייה: לפי המשפט. \lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix}
\lambda-1 &  &0 \\ 
 & \ddots  & \\ 
0 &  & \lambda-1
\end{pmatrix}, כלומר det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n, ומכאן (\lambda-1)^n=0 \Leftrightarrow \lambda=1.


הגדרה:

יהי T:V\rightarrow V אופרטור לינארי. אומרים ש-\lambda\in\mathbb{F} הוא ע"ע של T אם קיים וקטור 0\neq v\in\mathbb{F}^n שעבורו Tv=T(v)=\lambda v. הוקטור v נקרא ו"ע של T הקשור ל-\lambda.


משפט:

יהי T:V\rightarrow V אופרטור לינארי, יהי B בסיס של V ותהי A=[T]_B המטריצה המייצגת של T יחסית לבסיס B. אזי אם \lambda\in\mathbb{F} הוא ע"ע של T, אז \lambda הוא גם ע"ע של A.


אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי T:V\rightarrow V:

1. נבחר בסיס B של V.

2. נחשב את המטריצה המייצגת A.

3. נרכיב את המשוואה det(\lambda I-A)=0. זוהי משוואה ממעלה n עם משתנה יחיד \lambda.

4. נחפש פתרונות \lambda_1,...,\lambda_s, שהם הע"ע של T.