הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 1: שורה 1:
 +
נז'רדן את <math>A</math>:
 +
 
<math>A=\begin{pmatrix}
 
<math>A=\begin{pmatrix}
 
0 & 1 &0  & 0\\  
 
0 & 1 &0  & 0\\  
שורה 5: שורה 7:
 
  0& 0 &0  &0 \\
 
  0& 0 &0  &0 \\
 
\end{pmatrix}</math>
 
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
 +
נמצא פ"א:
  
 
<math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix}
 
<math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix}
שורה 15: שורה 20:
 
כעת, <math>A^2=0</math> ולכן <math>A</math> נילפוטנטית מסדר 2, והפ"מ שלה הוא <math>m_A(x)=x^2</math>.
 
כעת, <math>A^2=0</math> ולכן <math>A</math> נילפוטנטית מסדר 2, והפ"מ שלה הוא <math>m_A(x)=x^2</math>.
  
−
דרגת המטריצה היא 2 (מס' השורות הלא אפסיות, אחרי שמחליפים שורות והיא הופכת למטריצת מדרגות), ולכן <math>n-rank(A)=4-2=2</math> הוא מס' הבלוקים בצורת ז'ורדן. לכן צורת ז'ורדן היא
+
דרגת המטריצה היא 2 (מס' השורות הלא אפסיות, אחרי שמחליפים שורות והיא הופכת למטריצת מדרגות), והיא נילפוטנטית, ולכן <math>n-rank(A)=4-2=2</math> הוא מס' הבלוקים בצורת ז'ורדן. לכן צורת ז'ורדן של <math>A</math> היא
  
−
<math>\begin{matrix}
+
 
 +
<math>\begin{pmatrix}
 
J_2 & \\  
 
J_2 & \\  
 
  & J_2
 
  & J_2
−
\end{matrix}=\begin{pmatrix}
+
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 
0 &1  &0  &0 \\  
 
0 &1  &0  &0 \\  
 
  0& 0 & 0 &0 \\  
 
  0& 0 & 0 &0 \\  
שורה 26: שורה 32:
 
0 & 0 & 0 &0
 
0 & 0 & 0 &0
 
\end{pmatrix}</math>
 
\end{pmatrix}</math>
 +
.
 +
 +
 +
כעת נז'רדן את <math>B</math>:
 +
 +
 +
<math>B=\begin{pmatrix}
 +
0 & 1 &0  & 0\\
 +
0& 0 &1  &0 \\
 +
0 & 0 &  0&0 \\
 +
0& 0 &0  &0 \\
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
נמצא פ"א:
 +
<math>p_B(x)=|xI-B|=\begin{vmatrix}
 +
x & -1 &0  & 0\\
 +
0& x &-1  &0 \\
 +
0 & 0 &  x&0 \\
 +
0& 0 &0  &x \\
 +
\end{vmatrix}=x^4</math>

גרסה מ־11:21, 29 בדצמבר 2011

נז'רדן את A:

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}


נמצא פ"א:

p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x & -1 &0 & 0\\ 0& x &0 &0 \\ 0 & 0 & x&-1 \\ 0& 0 &0 &x \\ \end{vmatrix}=x^4

כעת, A^2=0 ולכן A נילפוטנטית מסדר 2, והפ"מ שלה הוא m_A(x)=x^2.

דרגת המטריצה היא 2 (מס' השורות הלא אפסיות, אחרי שמחליפים שורות והיא הופכת למטריצת מדרגות), והיא נילפוטנטית, ולכן n-rank(A)=4-2=2 הוא מס' הבלוקים בצורת ז'ורדן. לכן צורת ז'ורדן של A היא


\begin{pmatrix} J_2 & \\ & J_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ 0& 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &1\\ 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix} .


כעת נז'רדן את B:


B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}

נמצא פ"א: p_B(x)=|xI-B|=\begin{vmatrix} x & -1 &0 & 0\\ 0& x &-1 &0 \\ 0 & 0 & x&0 \\ 0& 0 &0 &x \\ \end{vmatrix}=x^4

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_לינארית_2,_אונ%27_עברית,_תשס%22ב,_מועד_ב,_שאלה_3&oldid=17709