הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12"
(יצירת דף עם התוכן "michael.michaeli (@) gmail.com ---- ''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מר...") |
מ |
||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | ''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון <math>F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)</math>), מכפלה פנימית (כגון <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx</math> ב־<math>C[a,b]</math>), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)‏ (<math>|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|</math>), מרחבי הסדרות <math>\ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\}</math> עם <math>\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i}</math> ואורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים הקשים לזכירה והחדשים: | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | ''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון <math>F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)</math>), מכפלה פנימית (כגון <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx</math> ב־<math>C[a,b]</math>), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)‏ (<math>|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|</math>), מרחבי הסדרות <math>\ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\}</math> עם <math>\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i}</math> | + | |
== אי־שיוויון הולדר (Holder) == | == אי־שיוויון הולדר (Holder) == | ||
שורה 9: | שורה 5: | ||
=== הוכחה === | === הוכחה === | ||
− | נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):‏ <math>\forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q</math>. נבחר עבור <math>n</math> כרצוננו <math>\alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}</math>, ונסכום לכל <math>n</math>: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1</math>. נכפול ב־<math>\|x\|_p\|y\|_q</math> | + | נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):‏ <math>\forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q</math>. נבחר עבור <math>n</math> כרצוננו <math>\alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}</math>, ונסכום לכל <math>n</math>: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1</math>. נכפול ב־<math>\|x\|_p\|y\|_q</math> ונקבל את הדרוש. {{משל}} |
+ | |||
+ | == קירוב לווקטור == | ||
+ | נניח ש־<math>V</math> מרחב לינארי, <math>W</math> תת־מרחב ו־<math>\mathbf u\in V\setminus W</math>. נרצה להראות שקיים וקטור יחיד <math>\tilde\mathbf u\in W</math> שהוא קירוב ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W</math>, כלומר שעבורו <math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>. | ||
+ | |||
+ | === מובן של מציאת קירוב === | ||
+ | הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W=\mbox{span}(\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\})</math> הוא <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>. | ||
+ | |||
+ | ==== טענת עזר ==== | ||
+ | יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> קבוצה אורתונורמלית ב־<math>V</math>. אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>. | ||
+ | |||
+ | ===== הוכחה ===== | ||
+ | {{left|<math>\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,\mathbf e_k\right\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_k</math>}}{{משל}} | ||
+ | |||
+ | {{המשך סיכום|תאריך=31.7.12}} | ||
+ | |||
+ | ==== הוכחה ==== | ||
+ | '''הגדרה:''' <math>c_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math> נקרא ''"מקדם פורייה"''. | ||
+ | |||
+ | צריך להוכיח ש־<math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>. אזי יהי <math>\mathbf v\in W</math> ונסמן <math>\mathbf v=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math>. לכן | ||
+ | {| | ||
+ | {{=|l=\left\Vert\mathbf u-\mathbf v\right\Vert^2 |r=\langle\mathbf u-\mathbf v,\mathbf u-\mathbf v\rangle }} | ||
+ | {{=|r=\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle-\left\langle\mathbf u,\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k\right\rangle-\left\langle\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k,\mathbf u\right\rangle+\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle }} | ||
+ | {{=|r=\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\Big(\overline{a_k}c_k+a_k\overline{c_k}\Big)+\sum_{k=1}^n\vert a_k\vert^2 }} | ||
+ | {{=|r=\Vert\mathbf u\Vert^2+\sum_{k=1}^n\vert c_k-a_k\vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2 |c=מתקיים<br><math>\begin{array}{l}|c_k-a_k|^2-|c_k|^2=\\=(c_k-a_k)(\overline{c_k}-\overline{a_k})-|c_k|^2=\\=|a_k|^2-\overline{a_k}c_k-a_k\overline{c_k}\end{array}</math>}} | ||
+ | {{=|o=\ge |r=\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2 |c=המקרה המינימלי הוא כאשר <math>\forall k:\ a_k=c_k</math>}} | ||
+ | |} | ||
+ | מכאן ש־<math>\|\mathbf u-\mathbf v\|</math> מינימלי כאשר <math>\mathbf v=\tilde\mathbf u</math>. {{משל}} התוצאה נותנת לנו גם את אי־שיוויון בסל: <math>\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|c_k|^2</math>. | ||
+ | |||
+ | {{פס| | ||
+ | ==== הכללה ==== | ||
+ | בהינתן בסיס אורתוגונלי <math>S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> של <math>W</math> (שאינו בהכרח אורתונורמלי) ניתן להכליל את הנוסחה הנ״ל ל־<math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k</math>. | ||
− | == | + | ===== הוכחה ===== |
− | + | <math>S</math> בסיס ולכן וקטור האפס אינו נמצא בו. לפיכך הקבוצה <math>\left\{\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|},\dots,\frac{\mathbf b_n}{\|\mathbf b_n\|}\right\}</math> מוגדרת ואורתונורמלית, ולבסוף {{left|<math>\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k=\sum_{k=1}^n\frac{\overline{\|\mathbf b_k\|}\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle}{\|\mathbf b_k\|^2}\|\mathbf b_k\|\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\sum_{k=1}^n\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\tilde\mathbf u</math>}} | |
+ | {{משל}} | ||
+ | }} | ||
− | + | === תרגיל === | |
+ | נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע <math>[-1,1]</math>. נגדיר מ״פ באופן הבא: <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math>. מצאו קירוב ל־<math>f(x)=x^3</math> בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית <math>S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}</math>. | ||
− | + | ==== פתרון ==== | |
− | ולפיכך <math>\left\|x^3-\frac35x\right\|</math> מינימלי. | + | מתקיים:{{left|<math>\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=0\cdot\mathbf e_1+\frac\sqrt65\mathbf e_2=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}</math>}} |
+ | ולפיכך <math>\left\|x^3-\frac35x\right\|</math> מינימלי בקטע. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־17:32, 31 ביולי 2012
הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון ), מכפלה פנימית (כגון
ב־
), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz) (
), מרחבי הסדרות
עם
ואורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים הקשים לזכירה והחדשים:
תוכן עניינים
אי־שיוויון הולדר (Holder)
אם כאשר
(כלומר,
צמודים) אזי
.
הוכחה
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung): . נבחר עבור
כרצוננו
, ונסכום לכל
:
. נכפול ב־
ונקבל את הדרוש.
קירוב לווקטור
נניח ש־ מרחב לינארי,
תת־מרחב ו־
. נרצה להראות שקיים וקטור יחיד
שהוא קירוב ל־
ב־
, כלומר שעבורו
.
מובן של מציאת קירוב
הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־
הוא
.
טענת עזר
יהי מרחב מכפלה פנימית, ותהי
קבוצה אורתונורמלית ב־
. אם
אזי
.
הוכחה
![\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,\mathbf e_k\right\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_k](/images/math/3/c/f/3cfa123d1e5b2b54cbc882b47c325127.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
הוכחה
הגדרה: נקרא "מקדם פורייה".
צריך להוכיח ש־. אזי יהי
ונסמן
. לכן
![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
מתקיים![]() |
![]() |
![]() |
||||
המקרה המינימלי הוא כאשר ![]() |
![]() |
![]() |
מכאן ש־ מינימלי כאשר
.
התוצאה נותנת לנו גם את אי־שיוויון בסל:
.
הכללה
בהינתן בסיס אורתוגונלי של
(שאינו בהכרח אורתונורמלי) ניתן להכליל את הנוסחה הנ״ל ל־
.
הוכחה
![S](/images/math/5/d/b/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![\left\{\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|},\dots,\frac{\mathbf b_n}{\|\mathbf b_n\|}\right\}](/images/math/7/4/f/74f627bbe79c6fb597d796941a743f84.png)
![\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k=\sum_{k=1}^n\frac{\overline{\|\mathbf b_k\|}\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle}{\|\mathbf b_k\|^2}\|\mathbf b_k\|\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\sum_{k=1}^n\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\tilde\mathbf u](/images/math/8/1/4/814aee6e2934752352368140b890f668.png)
תרגיל
נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע . נגדיר מ״פ באופן הבא:
. מצאו קירוב ל־
בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית
.
פתרון
מתקיים:![\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=0\cdot\mathbf e_1+\frac\sqrt65\mathbf e_2=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}](/images/math/c/3/1/c3176d30b100e49112241fb93014163b.png)
ולפיכך מינימלי בקטע.