הבדלים בין גרסאות בדף "שילוש מטריצה"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== מטריצה A נקראת '''ניתנת לשילוש''' אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה ==משפט== מטר...") |
(←אלגוריתם לשילוש מטריצה) |
||
(9 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 4: | שורה 4: | ||
==משפט== | ==משפט== | ||
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם [[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים | מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם [[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים | ||
+ | |||
+ | ==אלגוריתם לשילוש מטריצה== | ||
+ | |||
+ | *ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B | ||
+ | |||
+ | *נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה <math>Q = P^{-1}AP</math> | ||
+ | |||
+ | *נסמן <math>k=|E|</math>. נסמן ב<math>Q_k</math> את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות. | ||
+ | |||
+ | *ניתן לחזור לתחילת התהליך ולשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>. כיוון שהמטריצה <math>Q_k</math> קטנה ממש מהמטריצה המקורית, לתהליך הרקורסיבי הזה יהיה סוף (מטריצה 1 על 1 היא כבר משולשית). | ||
+ | |||
+ | *נסמן <math>P_1'=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k. | ||
+ | |||
+ | *סה"כ <math>P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'</math> הינה מטריצה משולשית | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
+ | נשלש את המטריצה | ||
+ | |||
+ | :<math>A=\begin{pmatrix}-1 & -3 & -4 & -5 \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ 2 & 5 & 9 & 12 \\ -1 & -2 & -3 & -3 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ראשית נמצא את הפולינום האופייני: | ||
+ | |||
+ | :<math>p_A(x)=(x-1)^2(x-2)^2</math> | ||
+ | |||
+ | הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | לאחר חישוב בסיסים למרחבים העצמיים אנו מקבלים: | ||
+ | |||
+ | ::<math>V_1=span\{(1,-2,1,0)\}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>V_2=span\{(1,0,-2,1)\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | נסמן <math>E = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1)\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ונשלים אותו לבסיס | ||
+ | ::<math>B = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נסמן | ||
+ | |||
+ | ::<math>P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | וכעת נקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>Q=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & -4.5 & -6.5 \\ 0 & 0 &-0.5 &-2.5 \\ 0 & 0 & 1.5 &3.5 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נסמן <math>Q_2=\begin{pmatrix} -0.5 & -2.5 \\ 1.5 & 3.5 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור | ||
+ | |||
+ | <math>P_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -0.6\end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>P_1^{-1}Q_2P_1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לבסוף נסמן | ||
+ | |||
+ | ::<math>P_1'=I_2\oplus P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -0.6\end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ונקבל כפי שרצינו: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -0.4 \\ 0 & 2 & 2 & -0.6 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> |
גרסה אחרונה מ־09:56, 13 בנובמבר 2012
תוכן עניינים
הגדרה
מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה
משפט
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים
אלגוריתם לשילוש מטריצה
- ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B
- נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה
- נסמן . נסמן ב את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.
- ניתן לחזור לתחילת התהליך ולשלש את המטריצה על ידי המטריצה . כיוון שהמטריצה קטנה ממש מהמטריצה המקורית, לתהליך הרקורסיבי הזה יהיה סוף (מטריצה 1 על 1 היא כבר משולשית).
- נסמן , כאשר הינה מטריצה היחידה מגודל k.
- סה"כ הינה מטריצה משולשית
דוגמאות
נשלש את המטריצה
ראשית נמצא את הפולינום האופייני:
הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.
לאחר חישוב בסיסים למרחבים העצמיים אנו מקבלים:
נסמן
ונשלים אותו לבסיס
נסמן
וכעת נקבל
נסמן
במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור
נקבל
לבסוף נסמן
ונקבל כפי שרצינו: