שילוש מטריצה

הגדרה

מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה

משפט

מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים

אלגוריתם לשילוש מטריצה

• ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B

• נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה $Q = P^{-1}AP$

• נסמן $k=|E|$. נסמן ב$Q_k$ את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.

• ניתן לחזור לתחילת התהליך ולשלש את המטריצה $Q_k$ על ידי המטריצה $P_1$. כיוון שהמטריצה $Q_k$ קטנה ממש מהמטריצה המקורית, לתהליך הרקורסיבי הזה יהיה סוף (מטריצה 1 על 1 היא כבר משולשית).

• נסמן $P_1'=I_k\oplus P_1$, כאשר $I_k$ הינה מטריצה היחידה מגודל k.

• סה"כ $P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'$ הינה מטריצה משולשית

דוגמאות

נשלש את המטריצה

$A=\begin{pmatrix}-1 & -3 & -4 & -5 \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ 2 & 5 & 9 & 12 \\ -1 & -2 & -3 & -3 \end{pmatrix}$

ראשית נמצא את הפולינום האופייני:

$p_A(x)=(x-1)^2(x-2)^2$

הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.

לאחר חישוב בסיסים למרחבים העצמיים אנו מקבלים:

$V_1=span\{(1,-2,1,0)\}$

$V_2=span\{(1,0,-2,1)\}$

נסמן $E = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1)\}$

ונשלים אותו לבסיס

$B = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}$

נסמן

$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

וכעת נקבל

$Q=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & -4.5 & -6.5 \\ 0 & 0 &-0.5 &-2.5 \\ 0 & 0 & 1.5 &3.5 \end{pmatrix}$

נסמן $Q_2=\begin{pmatrix} -0.5 & -2.5 \\ 1.5 & 3.5 \end{pmatrix}$

במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור

$P_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -0.6\end{pmatrix}$

נקבל

$P_1^{-1}Q_2P_1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

לבסוף נסמן

$P_1'=I_2\oplus P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -0.6\end{pmatrix}$

ונקבל כפי שרצינו:

$P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -0.4 \\ 0 & 2 & 2 & -0.6 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$