הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הקשר בין שני מרחבים עצמיים מוכללים"
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{למה:} \begin{enumerate} \item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda...") |
|||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| − | \item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda$. אזי $K_\lambda\ni\left(T-\lambda I)\left(v\right)\neq 0$. | + | \item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda$. אזי $K_\lambda\ni\left(T-\lambda I\right)\left(v\right)\neq 0$. |
\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$. אזי $K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\}$. | \item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$. אזי $K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\}$. | ||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| − | \item $K_\lambda$ אינווריאנטי. ניקח $p\left(T\right)=T-\mu I$, ונקבל כי $\left(T-\mu I\ | + | \item $K_\lambda$ אינווריאנטי. ניקח $p\left(T\right)=T-\mu I$, ונקבל כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\in K_\lambda$. נוכיח $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\neq0$. |
| − | נניח בשלילה כי $left(T-\mu I\ | + | נניח בשלילה כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)=0$, לכן $T\left(v\right)=\mu v$. ניתן לבדוק כי אם $f\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right]$, אזי $f\left(T\right)\left(v\right)=f\left(\mu\right)v$. |
נבחר $f\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. אם כן, $f\left(T\right)=\left(T-\lambda I\right)^n$. מכאן קיבלנו | נבחר $f\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. אם כן, $f\left(T\right)=\left(T-\lambda I\right)^n$. מכאן קיבלנו | ||
גרסה מ־06:26, 20 באוגוסט 2014
\textbf{למה:}
\begin{enumerate}
\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda$. אזי $K_\lambda\ni\left(T-\lambda I\right)\left(v\right)\neq 0$.
\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$. אזי $K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\}$.
\end{enumerate}
\textit{הוכחה:}
\begin{enumerate}
\item $K_\lambda$ אינווריאנטי. ניקח $p\left(T\right)=T-\mu I$, ונקבל כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\in K_\lambda$. נוכיח $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\neq0$.
נניח בשלילה כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)=0$, לכן $T\left(v\right)=\mu v$. ניתן לבדוק כי אם $f\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right]$, אזי $f\left(T\right)\left(v\right)=f\left(\mu\right)v$. נבחר $f\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. אם כן, $f\left(T\right)=\left(T-\lambda I\right)^n$. מכאן קיבלנו
$\underbrace{\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )}_{=0} =\underbrace{\left(\mu-\lambda\right)^nv}_{\neq 0}$
בסתירה, כדרוש.
\item נניח שקיים $v\in K_\lambda$, $v\in K_\mu$. נוכיח ש-$v=0$.
נניח בשלילה ש-$v\neq 0$, ונתבונן בווקטורים הבאים:
$\underbrace{v}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \underbrace{\left(T-\mu I\right )\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \underbrace{\left(T-\mu I \right )^2\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \dots, \underbrace{\left(T-\mu I \right )^n\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}$
בסתירה להנחה שלפיה $v\in K_\mu$.
\end{enumerate}
