קוד:הקשר בין שני מרחבים עצמיים מוכללים

\begin{lem}

\begin{enumerate}

\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda$. אזי $$K_\lambda\ni\left(T-\lambda I\right)\left(v\right)\neq 0$$

\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$. אזי $K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\}$.

\end{enumerate}

\end{lem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}

\item $K_\lambda$ אינווריאנטי. ניקח $p\left(T\right)=T-\mu I$, ונקבל כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\in K_\lambda$. נוכיח $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\neq0$.

נניח בשלילה כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)=0$, לכן $T\left(v\right)=\mu v$. ניתן לבדוק כי אם ניקח פולינום $f\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right]$, אזי $f\left(T\right)\left(v\right)=f\left(\mu\right)v$. נבחר $f\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. אם כן, נציב את $T$ ונקבל $f\left(T\right)=\left(T-\lambda I\right)^n$. מכאן קיבלנו $$\underbrace{\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )}_{=0} =\underbrace{\left(\mu-\lambda\right)^nv}_{\neq 0}$$ בסתירה, כדרוש.

\item נניח שקיים $v\in K_\lambda$, $v\in K_\mu$. נוכיח ש-$v=0$.

נניח בשלילה ש-$v\neq 0$, ונתבונן בווקטורים הבאים: $$\underbrace{v}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \underbrace{\left(T-\mu I\right )\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \underbrace{\left(T-\mu I \right )^2\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \dots, \underbrace{\left(T-\mu I \right )^n\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}$$ בסתירה להנחה שלפיה $v\in K_\mu$.

\end{enumerate}

\end{proof}