הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הקשר בין שני מרחבים עצמיים מוכללים"
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{למה:} \begin{enumerate} \item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda...") |
מ (4 גרסאות יובאו) |
||
| (3 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{lem} |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| − | \item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda$. אזי $K_\lambda\ni\left(T-\lambda I)\left(v\right)\neq 0$ | + | \item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda$. אזי |
| + | $$K_\lambda\ni\left(T-\lambda I\right)\left(v\right)\neq 0$$ | ||
\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$. אזי $K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\}$. | \item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$. אזי $K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\}$. | ||
| שורה 9: | שורה 10: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| − | \ | + | \end{lem} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| − | \item $K_\lambda$ אינווריאנטי. ניקח $p\left(T\right)=T-\mu I$, ונקבל כי $\left(T-\mu I\ | + | \item $K_\lambda$ אינווריאנטי. ניקח $p\left(T\right)=T-\mu I$, ונקבל כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\in K_\lambda$. נוכיח $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\neq0$. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | נניח בשלילה כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)=0$, לכן $T\left(v\right)=\mu v$. ניתן לבדוק כי אם ניקח פולינום $f\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right]$, אזי $f\left(T\right)\left(v\right)=f\left(\mu\right)v$. | ||
| + | נבחר $f\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. אם כן, נציב את $T$ ונקבל $f\left(T\right)=\left(T-\lambda I\right)^n$. מכאן קיבלנו | ||
| + | $$\underbrace{\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )}_{=0} | ||
| + | =\underbrace{\left(\mu-\lambda\right)^nv}_{\neq 0}$$ | ||
בסתירה, כדרוש. | בסתירה, כדרוש. | ||
| שורה 26: | שורה 27: | ||
נניח בשלילה ש-$v\neq 0$, ונתבונן בווקטורים הבאים: | נניח בשלילה ש-$v\neq 0$, ונתבונן בווקטורים הבאים: | ||
| − | + | $$\underbrace{v}_{\in K_\lambda,\neq 0}, | |
| − | $\underbrace{v}_{\in K_\lambda,\neq 0}, | + | |
\underbrace{\left(T-\mu I\right )\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, | \underbrace{\left(T-\mu I\right )\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, | ||
\underbrace{\left(T-\mu I \right )^2\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, | \underbrace{\left(T-\mu I \right )^2\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, | ||
\dots, | \dots, | ||
| − | \underbrace{\left(T-\mu I \right )^n\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}$ | + | \underbrace{\left(T-\mu I \right )^n\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}$$ |
| − | + | ||
בסתירה להנחה שלפיה $v\in K_\mu$. | בסתירה להנחה שלפיה $v\in K_\mu$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{lem}
\begin{enumerate}
\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda$. אזי $$K_\lambda\ni\left(T-\lambda I\right)\left(v\right)\neq 0$$
\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$. אזי $K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\}$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $K_\lambda$ אינווריאנטי. ניקח $p\left(T\right)=T-\mu I$, ונקבל כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\in K_\lambda$. נוכיח $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)\neq0$.
נניח בשלילה כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)=0$, לכן $T\left(v\right)=\mu v$. ניתן לבדוק כי אם ניקח פולינום $f\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right]$, אזי $f\left(T\right)\left(v\right)=f\left(\mu\right)v$. נבחר $f\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. אם כן, נציב את $T$ ונקבל $f\left(T\right)=\left(T-\lambda I\right)^n$. מכאן קיבלנו $$\underbrace{\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )}_{=0} =\underbrace{\left(\mu-\lambda\right)^nv}_{\neq 0}$$ בסתירה, כדרוש.
\item נניח שקיים $v\in K_\lambda$, $v\in K_\mu$. נוכיח ש-$v=0$.
נניח בשלילה ש-$v\neq 0$, ונתבונן בווקטורים הבאים: $$\underbrace{v}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \underbrace{\left(T-\mu I\right )\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \underbrace{\left(T-\mu I \right )^2\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \dots, \underbrace{\left(T-\mu I \right )^n\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}$$ בסתירה להנחה שלפיה $v\in K_\mu$.
\end{enumerate}
\end{proof}
