שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
 
(234 גרסאות ביניים של 28 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 8: שורה 8:


[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]
[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]
[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 4| ארכיון 4]]


=שאלות=
=שאלות=
==איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט==
כלומר לכל טור חיובי <math>\sum a_n</math> שמתבדר קיים טור <math>\sum b_n</math> מתבדר כך ש: <math>\frac{b_n}{a_n}\to 0</math>
:בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל-10 ולהפוך אותו לעשרה אברים, את האבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה אברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
אבל הסדרה <math>a_n</math> לא בהכרח יורדת
==איך מוכיחים את מבחן ראבה==
נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה
:לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
==מבחן==
מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה?
לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות
:זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה
:::המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
==בקשר לגבולות של סדרות==
אם יש לי סדרה <math>A_n</math> של חיוביים ומצאתי סדרה <math>B_n>A_n</math> ששואפת לאפס, האם גם <math>A_n</math> תשאף לאפס אם כן למה?
:חוק הסנדויץ'. <math>0\le a_n\le b_n</math> --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
==חזרה על התרגילים==
בתרגיל 3
שאלה 4 סעיפים א,ב,ג
האם יש קשר בין <math>a_n</math> כלומר אברי הסדרה an1 an2.....
ל a אליו הוא שואף??
תודה
:לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
==גבול החסמים העליונים==
האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?
:אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
==פתרונות למבחנים==
אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?
:אם אתה כותב LaTex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
אני כותב בעזרת [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php] והאתר משום מה תמיד כותב לי '''עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג)''', דוגמא:
<math>[a_n=S_{n-1}\Delta^2]</math>
הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד <math>a_n=S_{n-1}\Delta^2</math> ללא שימוש בתרגום ל-LaTex, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.
קראתי חלק מ-[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉
מהו הקוד של ירידת שורה?
: (לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.
: איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?


== שאלה כללית ==
::תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעיה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מ-LaTex, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


אם עבור פונק' מסויימת (f(x מתקיים <math>\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x) = \infty</math>, אז מאיזה סוג הנק' a? אי רציפות סליקה? סוג ראשון?
==איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה?==
::שני. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 18 בינואר 2012 (IST)
כלומר אם מתקיים <math>\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0\colon f((1-t)x+t(x_0))\le(1-t)f(x)+tf(x_0)</math>
:נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
:ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באזור --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== שאלה 8 תרגיל 10 ==
::אפשר להרחיב ? כלומר, איך מראים את זה בשימוש בנתונים הנ"ל ?


בעצם אמור לצאת ע"פ ההוכחה שתמיד יהיה מינימום לפונקציה... אבל מקסימום לא חייב. האם אני טועה? השתמשתי במשפט ויירשטראס השני.
:::נביט שתי הסדרות השואפות לאותה נקודה, עליהן הפונקציה שואפת למקומות שונים. אחד המקומות גבוה מהשני. תיקח שתי נקודות מהסדרה הנמוכה שיש נקודה מהסדרה השנייה בניהן, אז הפונקציה תהיה מעל לקו העובר בין שתי הנקודות בנקודה השלישית, בסתירה. (תנסה לצייר את זה קודם, זה יעזור)--<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::שים לב שאמרנו מינימום או מקסימום, לכן אין לך שום סיבה להניח שאתה טועה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:20, 14 בינואר 2012 (IST)


אבל כל השאלות האלה מתחכמות... גם השאלה נראת לי מופשטת מאוד. אני לא הצלחתי למצוא דוגמה נגדית, אבל אני לא בטוח שאני צודק... הכוונה למקסימום מקומי?
==מתי שיעורי החזרה?==
::הכוונה היתה למינימום ומקסימום מוחלטים. מצד שני האם יכול להיות שלפונקציה ששואפת לאינסוף כשאיקס שואף לאינסוף יהיה מקסימום? מכאן שכנראה מה שאנחנו רוצים זה ...
תודה


לגבי זה שהשאלה מופשטת, במבחן יכולות להופיע שאלות מופשטות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:27, 15 בינואר 2012 (IST)
<math>\sum x^2</math>
 
מינימום מוחלט בטוח קיים. מקסימום מוחלט בטוח לא קיים. מקסימום מקומי- בתלות מהפונקציה.
==תרגיל 12 שאלה 2 C==
הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:
 
<math>\frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}</math>
::יש שם טעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)


== תרגיל 10 שאלה 3 ==
::::תודה רבה


בסעיף b מותר להשתמש בכך שאם הפונ' שלנו זוגית אז מציאת נקודת אי רציפות מכל סוג שהוא גוררת שגם המינוס של נקודה (-x0) זו היא אותה סוג אי רציפות?
==תרגיל 12 שאלה 3 a==
::תובנה יפה. אני הייתי מקבל את זה גם בבוחן. אם אתה תיכוניסט אולי עדיף שגם ארז יגיד אם היה מקבל.
שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:
במבחן כמובן עדיף לשאול את המרצה. כמובן שאם ראיתם את הטענה בתרגול או בהרצאה מותר להסתמך עליה.
אם לא ראיתם אז יפה מאד שהסקת את זה לבד. אני מניח שזה נכון שכן ניתן להוכיח שבהנחה שהפונקציה זוגית אז אם קיים גבול באחד האגפים הוא שוה לגבול באגף השני. אני מדבר על השויון: <math>\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to (-a)^{-}}f(x)</math>
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:38, 14 בינואר 2012 (IST)


== תרגיל 10 שאלה 7 ==
<math>2^{x^e}=e^{\log(2^{x^e})}</math>


אפשר לקבל הכוונה לפיתרון??? --[[משתמש:ג.יפית|ג.יפית]] 16:18, 14 בינואר 2012 (IST)
זה לא אמור להיות:


חחח ג. יפית
<math>2^{x^e}=e^{\ln(2^{x^e})}</math>
::משפט ערך הביניים. על איזה פונקציה כדאי להפעיל? על איזה קטע סגור כדאי להפעיל?--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:21, 14 בינואר 2012 (IST)


== תרגיל 10, שאלה 8 ==
::הסימון <math>\log(x)</math> משמש לעתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל- <math>\ln</math> כלומר ללוגריתם בבסיס <math>e</math> . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)


יש אולי אפשרות שתתנו או לפחות תאמרו אם קיימת פונקציה שמקיימת תנאי אחד בדיוק? תודה.
::::תודה רבה


:: מה הכוונה "מקיימת תנאי אחד בדיוק"? יש המון פונקציות שמקיימות את תנאי השאלה... למשל: <math>f(x)= x</math>  --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 12:31, 15 בינואר 2012 (IST)
==שיעורי חזרה==
1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?


== תרגיל 11 ==
2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?


באופן כללי, אני יכול להשתמש במשפט שפונקציה רציפה ומחזורית היא רציפה במ"ש?
'''הבהרה'''
או שאני צריך להוכיח אותה? ואם כן, למה לא אמרו לנו כלום לגבי זה (כלומר, למה זה לא מופיע במערכי תירגול)?
:אפשר ונוסיף למערכי התרגול --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== שאלה 7 תרגיל 10 ==
שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)


אפשר להוכיח קיום ע"י תהליך:
יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)


א) קודם כל, אם הפונקציה רציפה, ומתקיים התנאי <math>f(0)=f(a)</math> והפונקציה בתחום <math>[0,a]</math>
:אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(
אזי קיים מינימום ומקסימום בתחום הנתון, כך שלפחות אחד מסוגי נקודות קריטיות אינו נק' קצה.


ב)ניקח את הנק' הקריטית, ע"פ משפט כלשהו (לא זוכר שם), קיימות שתי נקודות בכל סביבה של הנקודה שנבחר, כך שהשיפוע הישר בינהם שווה לנגזרת בנקודה עצמה.ולכן, השיפוע של הישר יהיה שווה ל-0.
==מבנה המבחן==
מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?


ג)ניקח סביבה כלשהי של הנקודה, כך שהקצוות שלה יוצרות ישר עם שיפוע 0.נקרא לקצוות
==אריתמטית של גבולות==
<math>x_{1}<x_{2}</math>.כל עוד לא מתקיים <math>x_{2}-x_{1}=\frac{a}{2}</math>:
אם סדרה אחת שואפת לאינסוף והאחרת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?
נסמן את הנקודה <math>x_{2}=x_{1}+\frac{a}{2}</math>. נמצא את הנקודה הקרובה מימין שמקיימת<math>x:f(x)=f(x_{2})</math>, ונסמן <math>x_{1}=x</math>.
כיוון שהפונקציה רציפה,התהליך מוגדר היטב.מה שיוצא בסוף זה שקיים כזה <math>x_{1}</math> שמקיים את התנאי.
::לא ברור לי באיזה משפט אתה נעזר. אבל, אין לך שום מידע על גזירות הפונקציה באיזושהי נקודה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:46, 15 בינואר 2012 (IST)
ראיתי משפט כזה איפהשהו, לא זוכר איפה, ולא זוכר שם. אבל בנקודה קריטית תמיד קיימת הנגזרת, והיא שווה ל-0, אלא אם כן יש שם אי רציפות, אבל לפי הנתונים הפונקציה רציפה בכל התחום.אנו משתמשים פה בנגזרת של נקודה קריטית.
::הפונקציה ערך מוחלט רציפה בכל <math>\Bbb R</math> מקבלת מינימום מוחלט ב0 אבל לא גזירה ב0. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:16, 16 בינואר 2012 (IST)


:::זה נחשב כנקודה קריטית? אבל בכל מקרה, פונקציה זו לא מקיימת את תנאי הבעיה אז לא ניתן להביא אותה כדוגמה נגדית להוכחה שלי.חוץ מזה, הכוונה שלי הייתה למצוא שתי נק' שהישר בינהם מקביל לציר ה-X ולא לנקודה קריטית. אפילו אם יש נק' קיצון שהיא "שבירה" של הפונקציה, אז האלגוריתם עובד.
לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההפך?


::::העובדה שלא ניתן למצוא דוגמא נגדית לתרגיל, נובעת מזה שהוא נכון. לעומת זאת, הדוגמא בוודאי סותרת את ההנחה שאתה משתמש בה לפיה הפונקציה גזירה. אתה הגדרת כי קיימת נקודה קריטית, כאשר התכוונת לנקודת מקסימום או מינימום. עקרונית ההוכחה הזו אינה תקיפה כי היא מניחה נתון שלא קיים - גזירות הפונקציה --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
:: אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.


== אפשר להשתמש בשיעורי בית שפונקציה שרציפה במש במספר ==
אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.


סופי של קטעים אזי היא רציפה באיחוד של הקטעים?
יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.
:כן --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== הרחבה לאריתמטיקה ==


ניסיתי לשווא להוכיח עפ"י הגדרה ש<math>lim a_n^{limb_n}=lim a_n^{b_n}</math>  (כאשר הגבולות קיימים). איך עושים את זה? (או מפריכים)
טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.
:: לאחר שתלמדו על פונקציות רציפות ותוכיחו שפונקצית ln רציפה, התשובה לשאלה תהיה יותר ברורה.
--[[משתמש:מני ש.|מני]]


== אתם יכולים לתת לי רמז איך להוכיח ==
מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)


ששורש X היא פונקציה רציפה במש בקטע (0,1)תודה
==ערכים של טורים==
האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסוימים? (לכמה הטור שווה) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)


:היא רציפה בקטע הסגור גם... משפט קנטור --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה?
::סליחה התבלבלתי קודם איך אני מוכיח את זה לקטע הפתוח מ0 עד אינסוף?
מה מייצג הסימן f  בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המבחן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה ל- <math>f</math>
:::
::עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:
תחלק לקטעים גדול מאחד וקטן מאחד--<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך.
לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.


== להוכיח לפי הגדרת היינה תרגיל 8 מדמח ==
שאלה שניה - <math>b_n>1</math> ולכן <math>b_{n+1}>b_{n+1}/b_n</math> לכן אם
<math>\frac{b_{n+1}}{b_n}</math> שואף לאינסוף אז כך גם <math>b_{n+1}</math> (ולכן גם <math>b_{n}</math>)
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)


בשאלה 1 צריך להוכיח לפי הגדרה.
==נגזרת ורציפות==
בסעיפים א-ד אפשר להוכיח לפי ההגדרה של היינה, פשוט לוקחים
אם f גזירה פעמיים ב- <math>[a,b]</math> אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?
סדרה כלשהי Xn ששואפת ל-X0 ואומרים שלכל סדרה כזאת אם מפעילים עליה את הפונקציה f(xn), הגבול של זה באינסוף
::כן. באופן כללי גזירות בנקודה גוררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)
הוא L. זו הוכחה טובה? במקרה כזה האם יש חובה להשתמש ההגדרה של קושי?
בסעיף ה חייבים להשתמש בהגדרת קושי.


:אני חושב שהכוונה שם זה להגדרת קושי ולא היינה --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
==הגדרת החזקה - שיעור ראשון==
איך מוכיחים ש <math>\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m</math>?


== תרגיל 11 שאלה 7 ==
:נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת <math>n</math> ונקבל סתירה, לפי החוק <math>(a^n)^m=(a^m)^n</math> (אותו קל להוכיח) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::ציין אם זה נכון: בגלל ש- <math>n,m</math> הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל- <math>a^{nm}</math> , ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל
::<math>\sqrt[n]{x^m}\ne(\sqrt[n]{x})^m\Rightarrow x^m\ne((\sqrt[n]{x})^m)^n\Rightarrow x^m\ne((\sqrt[n]{x})^{mn}=((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m</math> בסתירה.
:::כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


אפשר לקבל איזשהי הכוונה או איזשהו ספויילר??
==היינה באינסןף==
::השאלה ופתרונה מזכירים מאד שאלה מתרגיל 10. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:54, 21 בינואר 2012 (IST)
אם <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L</math> , זה אומר לפי היינה שגם <math>\lim\limits_{n\to\infty}f(n^2-n\ln(n))=L</math> , נכון?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)


== סתם שאלה ==
==מבחן תשנ"ט שאלה 2ג.==
במבחן כתוב <math>\frac{1}{\log\left(\frac{1}{n}\right)}</math> כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.
::נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)
:::זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)


אני שואל מבחינה אינטואיטיבית על איך נראה גרף של פונקציה שאינה רבמ"ש בקטע מסוים.
==גבולות==
יכול להיות שמדובר בעליות (וירדות) חדות או מהירות...?
אם סדרה <math>a_n</math> שואפת למספר טבעי ממשי מאפס וסדרת <math>b_n</math> שואפת לאפס דרך החיוביים. <math>\frac{a_n}{b_n}</math> שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?
:מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


==דוגמה 2 לטורים חיוביים==
יש [http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/2  טעות] במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.


::אינטואיטיבת קצת קשה לראות... אבל למשל <math>x^2</math> היא לא רבמ"ש על הישר הממשי... וזה (ממש אינטואיטיבית) בגלל העליה היחסית חדה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 22:10, 21 בינואר 2012 (IST)
:מוזמן לתקן. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::תיקנתי.


==<math>0^0</math>==
יש דוגמה לגבול מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל-2?


תודה.
:<math>2\Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math>0^0</math> בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.
:::<math>\left(\frac{1}{2^nn}\right)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה? (: --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\left(\frac{1}{2^n}\right)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math>0^0</math>)


== תרגיל 11 ==
==דוגמה 3 לטורים חיוביים==
[[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/3]] התכוונתם לרשום ש'''לפחות''' שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק ל-n ששקול ל0 מודולו 3.


האם המשפט שלמדנו על פונק' מחזוריות שרציפות בכל <math>\mathbb R</math> תופס גם אם הפונק' מוגדרת בקטע כלשהו(ולא בכל <math>\mathbb R</math>)? תודה.
נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח
:מה הכוונה? הרי פונקציה רציפה על קטע סגור רציפה שם במ"ש. אם אתה משכפל את הפונקציה על כל ציר הממשיים, היא עדיין תהא רציפה במ"ש. אם תשכפל רק לצד אינסופי אחד, זה עדיין יהיה נכון. לגבי קטע סופי, שוב היא תהיה רציפה בקטע הסגור. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== תרגיל  10 שאלה 1ב ==
"נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- <math>\frac{n}{3}</math> , ומכיון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש
אפשר לבחור פשוט x^3, נכון?


<math>n!=1\times2\times\cdots\times\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\times\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1\right)\times\cdots\times n\ge1\times2\times\cdots\times\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\times\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac{2}{3}n}\ge\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac{2}{3}n}</math>


::אפשר... רק מדוע זה יותר פשוט מסינוס? :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 13:11, 22 בינואר 2012 (IST)
ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."
:::כי לא הוכחנו שסינוס מקיים את הדרישה הזאת (וגם לא את הנוסחה של חיבור בשביל הוכחת הרציפות).
:(לא התייחסתם, אז הוספתי.)
::העובדה שפונקצית סינוס היא אי זוגית אמורה להיות מוכרת עוד מהתיכון. כמו כן היא אחת מהפונקציות האלמנטריות שעליהן ידוע שהן רציפות בתחום הגדרתן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:16, 22 בינואר 2012 (IST)


== תרגיל 10 שאלה 2 ==
==דוגמה 5 לטורים חיוביים==
הוכחת האינדוקציה נראית לי שגויה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)


צריך לבחור <math>min(\delta,\alpha)</math>, נכון? (זה מובלע בסוף התשובה)
צריך להיות פשוט <math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\ge\frac{a_{n+1}}{a_n}\frac{b_n}{b_1}\ge\frac{a_{n+1}}{a_n}\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינדוקציה)
::<math>\alpha</math> עושה את העבודה לבד. לא צריך לקחת מינימום. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:09, 22 בינואר 2012 (IST)
:תוקן --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== הרחבה לתרגיל 10 שאלה 1 ==
==טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4==
בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.


תהי <math>f</math> כך ש <math>\exists c \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:( x \neq c\rightarrow  f(c+x)=-f(c-x))</math>.
==שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008==
בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to\infty}\bigg[\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}\bigg]</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?
::תכפילו ותחלקו ב- <math>\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math> .
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:17, 21 בפברואר 2012 (IST)
::ואז?
::מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב- <math>\sqrt{n}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST)


אני טוען שאם <math>f</math> רציפה ב-<math>c</math>, אזי <math>f(c)=0</math>.
==פונקציות==
איך באופן כללי לענות על שאלות רציפות? עם כל ההגדרות כמו שכתוב במערכי תרגול או שאפשר גם לכתוב איפה שאפשר ב"הגיון"?
:לפי הגדרות ולפי משפטים בלבד --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


הפתרון שלי הוא להגדיר פונ' <math>g</math> ע"י <math>\forall x \in \mathbb{R}:g(x)=f(x+c)</math> ולהשתמש במה שהוכחנו.
==שאלה==
הוכיחו כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים <math>C>0</math> כך שלכל סדרה <math>\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת כי
<math>|b_n|\le1</math> לכל <math>n\in\N</math> וכן <math>\lim_{n\to\infty}b_n=0</math> מתקיים כי <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n\le C</math>


השאלות שלי: האם הפתרון נכון? איך מוכיחים את זה עם סדרות?
נ"ב, אני משום מה לא מצליח לרדת שורה, למרות שאני לוחץ על אנטר. תודה
::האם לא התכוונת דווקא <math>\exists c \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:( x \neq 0\rightarrow  f(c+x)=-f(c-x))</math>?.  --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:12, 22 בינואר 2012 (IST)
:::כן, נכון.
:: הפתרון נכון. אותן סדרות שעבדו בשביל f בשאלה המקורית יעבדו עכשיו בשביל g.
::שהרי g רציפה ב0 וכמו כן <math>g(x)=-g(-x)</math> לכל x השונה מאפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 23 בינואר 2012 (IST)
:::"אותן סדרות שעבדו בשביל f בשאלה המקורית יעבדו עכשיו בשביל g" איך זה יכול להיות אם הן אפילו לא בהכרח שואפות לc?
:: נראה לי שלא הובנתי. במילים "השאלה המקורית" הכוונה שלי היתה לשאלה 1 מתרגיל 10. אין צורך שהסדרות ישאפו לc אלא לאפס. כל הרעיון להגדיר את הפונקציה g הוא כדי שאפשר יהיה לעבור מדיון ברציפות בc לרציפות באפס. שבה דנים בשאלה 1 תרגיל 10. מסיקים לגבי g ש
<math>g(0)=0</math> וממילא אפשר לקבל מה שצריך בבעיה המורחבת --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:45, 24 בינואר 2012 (IST)


== [מדמ"ח] תרגיל 9 שאלה 1ז ==
:השאלה הופיע בתרגילי הבית של תשע"א: [http://math-wiki.com/images/b/b9/10Infi1Targil7Sol.pdf ראה פתרון של תרגיל 8].


הפונקציה מכילה שורש של x-7 ולכן עבור כל x < 7 הפונקציה לא מוגדרת כלל. האם זה נחשב אי רציפות מסוג שני עבור כל x < 7?
:בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה <math>a_n</math> מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה.
(בלי קשר לעובדה שצריך לבדוק את הנקודות 2 ו 2- כי גם בהם הפונקציה בעייתית).
:בנקודות בהן אין סביבה בה הפונקציה מוגדרת, אין גבול ולכן זה מין שני. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== הגבלת האפסילון ==
==שאלה ממערכי תרגול - פונקציות קושי==
היי ארז!
מצ"ב מערך תרגול  http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94
בשאלת ההוכחה הראשונה של קושי בה צריך להוכיח שהגבול הוא שמונה, לאחר שעשינו מכנה משותף ופישטנו את הביטוי והשאפנו את איקס ל-2 מה מעיד על כך שצריך להגדיל את השבר?ו..איך מוצאים את הדלתא????


איך מוכיחים שבקריטריון קושי ובהגדרת הגבול מספיק להראות לכל אפסילון רציונלי?
:אנחנו רוצים להגדיל את כל הביטוי, ולמצוא דלתא שמבטיח שאפילו אחרי שהגדלנו הביטוי יהיה קטן מאפסילון ללא תלות באיקס. על מנת להגדיל את הביטוי אנחנו צריכים להקטין את המכנה. על מנת להקטין את המכנה אנחנו צריכים למצוא מספר גדול מאפס שקטן תמיד מהמכנה. אנחנו בוחרים דלתא שנותן לנו מספר כזה.. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


:יהי <math>\epsilon'>0</math> בודאות קיים <math>\epsilon</math> רציונלי הקטן מ<math>\epsilon'</math>. מכאן...--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:05, 23 בינואר 2012 (IST)
== בתרגיל להלן שיש לו קישור  ==


::אז אפשר גם להרחיב את הטענה: (סטייל מבחן העיבוי) תהי <math>{a_n}</math> חיובית ממש (אפילו לא צריך יורדת) כך ש<math>\lim_{n \to \infty }a_n=0</math>.
לא ברור איך ידעת מאיפה להתחיל .. אפשר הסבר לאיך הגעת לנקודת ההתחלה מה רמז לך לזה?
תודה
http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA


::אם לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> קיים דלתא כך ש... הערך המוחלט קטן מ<math>a_n</math>, אז הגבול של הפונק' קיים ושווה <math>L</math>. האם הטענה נכונה? (זה משפט די מגניב ^_^)
:: לא הבנתי מהי הטענה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:13, 24 בינואר 2012 (IST)


== בוחן תיכוניסטים 4 ==
:יש שם כמה תרגילים, הכוונה לראשון? כאשר אנחנו מקבלים סדרה שאנו רוצים להוכיח שהיא מתכנסת יש לנו מספר שיטות. האחת היא להראות מונוטוניות וחסימות, השנייה היא למצוא נוסחא מפורשת (קשה במקרה זה) ואחרת היא להראות תנאי קושי. אין דרך לדעת בוודאות מראש איזו שיטה עובדת, יש לנסות את כולם עד אשר מצליחים לפתור את התרגיל. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


מתרגלים יקרים, מהו החומר לבוחן הרביעי של התיכוניסטים ב - 29/1 מבחינת תרגילים ומבחינת תרגולים? תודה רבה מראש
::סורי שלא ציינתי זאת התכוונתי לתרגיל השני עם a1=אלפא b1=ביטא    נ.ב- "לא קונה בלי תימני"
:תרגילים 10-12, תרגולים: כל מה שנחוץ על מנת לפתור את תרגילים 10-12 --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== ציון תרגיל סופי ==
:::כמו בתרגילים אחרים, העצה היא להתחיל לרשום כמה איברים ראשונים של הסדרה. מהר מאד רואים שאחת עולה, השנייה יורדת, והשנייה גדולה מהראשונה. אחרי שרואים את זה ניגשים להוכיח במרץ --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


אם עשיתי את כל 3 הבחנים שהיו ויש לי בסה"כ 99, האם זה נחשב 99 בציון תרגיל, או שזה 99/108?
== היינה- שאלה קטנטנה ==
:זה 99 --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


תודה!
היי, בקובץ המצורף http://math-wiki.com/images/7/7b/10Infi1Targil8Sol.pdf בשאלה 3.
השאלה פשוטה עקרונית. אבל מבחינת ההוכחה יכולתי לומר שמתקיים לכל סדרה לקחת בפרט סדרה כלשהי (נגיד 1 חלקי n ) ששואפת ל-0 להפעיל עליה את f ולומר שמדובר על מכפלה של אפסית בחסום ולכן הגבול אפס. אמת?  
:לא מספיק להוכיח לסדרה מסויימת, חייבים להוכיח שזה מתקיים לכל סדרה. אחרת יכול להיות שעל הנקודות של 1 חלקי n קורה משהו אחד, ועל נקודות אחרות בסביבת אפס קורה משהו אחר --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== התרגיל ברבמ"ש שלא הצלחנו בתירגול ==
== הוכחה של גבול  ==


היינו צריכים להוכיח ש<math>f(x)=xlnx</math> אינה רבמ"ש בחלק החיובי של ציר הx.
היי,
השאלה: הוכח שlimcosx=1 כאשר x שואף ל-0.  
בוחרים סדרה כלשהי שמתכנסת ל-0 ואז מה ניתן לעשות?
תודה


חשבתי על פתרון (כי עדיין לא העלו אחד), לפי ההגדרה עצמה.
:תלוי מאיפה השאלה בחומר. בהרצאה הוכחנו שקוסינוס וסינוס הן פונקציות רציפות, זה נובע ישירות מהגדרת הרציפות --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


ברמת העיקרון שצריך להוכיח שקיים <math>\varepsilon</math> אבל זה עובד לכל אחד.
== לא הצלחתי שאלה במבחן מסוים... ==


יהי <math>\delta >0</math>, נניח כי <math>1>\delta </math>.
http://www.studenteen.org/inf1_exam_zalcman_2009_a.pdf תרגיל 2 ג  הוכחתי שזה מתכנס בתנאי לפי דריכלה אבל אין לי רעיון עם מתכנס בהחלט...
:זה לא מתכנס בהחלט. בלי הקוסינוס זה נכון לפי מבחן העיבוי, עם הקוסינוס ניתן להוכיח שקוסינוס בערך מוחלט גדול מקבוע מסויים לפחות כל פעם שנייה. הרי אם הוא קרוב לאפס, אחרי אחד הוא יתרחק ממנו. לכן זה גדול מקבוע כפול טור מתבדר ולכן מתבדר. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::לא הבנתי כל כך איך אני מוכיח שזה מתכנס בתנאי...
:::מבחן דיריכליי, הוא רשום במפורט במערכי תרגול. '''אבל''' להבנתי אסור לכם להשתמש בזה במבחן, וכנראה לא יהיה תרגיל כזה במבחן. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


אזי ניקח <math>x_{0}, x_{1}:=x_{0}+\frac{\delta }{2}</math> ונביט בהגדרה:
== לא הצלחתי לסווג את הנקודות קיצון ==


<math>|f(x_{1})-f(x_{0})|=|(x_{0}+\frac{\delta }{2})ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})-x_{0}lnx_{0}|=|\frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})+x_{0}ln\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}|</math>
http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a2e00a144.pdf שאלה 6 א את 0 הצלחתח בעזרת לופיטל אבל לא הצלחתי את PI/2+PK
::מדובר בסוג שני. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי ב <math>\frac{\pi}{2}</math> אינו סופי. (אם הוא אינסופי או לא קיים בכל מקרה מדובר בסוג שני) וזה משליך גם על כל הנקודות האחרות. מספיק להוכיח שהגבול  השמאלי של המונה אינו סופי. (למה?) נניח בשלילה שהגבול סופי אזי בהכרח הגבול בין 1 למינוס 1 (נובע מערכי סינוס). נניח שהגבול הוא a.  כעת ניתן להפעיל arcsin על שני האפים שהיא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (משתמשים כאן ברעיון של שאלה 2 מתרגיל 10) וכמו כן לזכור ש arcsinsin t=t  ונקבל ש
<math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=arcsin a </math>
אבל arcsin a הוא מספר סופי ומצד שני ידוע ש <math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=\infty </math>
וזו סתירה להנחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:08, 8 באפריל 2012 (IDT)


מתקיים: <math>\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}>1\Rightarrow ln(\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}})>0</math>
== מבחן נוסף... ==


ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים <math>\frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})\geq \varepsilon </math>
http://www.studenteen.org/ חשבון אינפי 1 בחינות של  שמואל קפלן קובץ 2 תרגיל 1 א


ניקח <math>x_{0}=e^{\frac{2\varepsilon }{\delta }}-\frac{\delta }{2}</math> וסיימנו.
:אפשר להוכיח באינדוקציה ש<math>2^{n}>n^{3}</math> החל מn מסויים, מכאן תמשיך!
אופס קודם התבלבלתי תרגיל 1 ג
::ניתן להיפטר מarcsin ע"י הצבת <math>x=sint</math> ואז מקבלים גבול כש <math>t</math> שואף לאפס
מקבלים גבול מהצורה של 1 בחזקת אינסוף. אותו אפשר לפתור ע"י הטלת ln (בסוף צריך להפעיל e בחזקת התוצאה הזו כדי לקבל את הגבול המקורי) אחרי השלב של הln פותרים בעזרת לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 8 באפריל 2012 (IDT)


:יפה מאד, העתקתי למערכי התרגול. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
== אפשר רמז? ==


אם פונציה f 
1.רציפה על [a,b] ,
2. קיימת נגזרת סופית בקטע ..(למיטב הבנתי הנגזרת חסומה..)
3. הפונקציה לא לינארית..(במה בדיוק זה עוזר לי?)
צ"ל שקיימת לפחות נק' אחת שבה הנגזרת יותר גדולה מהנגזרת בין a לb  לפי לגראנג'..(כאילו
f(b) -f(a)/b-a< f'(c)
::ברגע שהפונקציה לא ליניארית אז לא יתכן  ש <math> f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
לכל x.
כלומר בהכרח קיים <math>a<x<b</math> כך שבמקום שוויון יש אי שוויון.
אם למשל  <math>f(x)</math> גדול מאגף ימין אז ניתן להסתכל בביטוי
<math> \frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math> ולהסיק ש...
אם אי השוויון הוא בכיוון השני אז ניתן להתבונן ב <math> \frac{f(b)-f(x)}{b-x}</math> ולהסיק הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:08, 8 באפריל 2012 (IDT)




או להוכיח שהגבול ב-0 הוא מינוס אינסוף (בעזרת משפט לופיטל ומשפט 5) ואז בקטע הפתוח והסופי, מ-0 ועד 1 הפונקציה לא חסומה--> הפונקציה אינה רבמ"ש.


: רק שהגבול לפי לפיטל הוא 0.
תודה :-)


== הגדרנו גזירוּת בקטע סגור? ==
== מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים. ==


(לפי גזירה מהצד המתאים בקצוות?)
בהוכחת מבחן השורש לטורים חיוביים נעזרים במשפט עזר על אפייון הלימסופ, בו נאמר פחות או יותר-
השאלה היא כי בכל המשפטים שמתי לב שלא דורשים גזירות בקטע סגור.
תהי '''סדרה כלשהי''', אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים..כמו כן קיים ניסוח גם למקרה ההפוך.
השאלה שלי היא, האם אין צורך לדרוש את הקיום הזה לכל סדרה חסומה?
::לא. זו דוגמא טובה לתנאי שמתקיים באופן ריק. אם למשל הסדרה לא חסומה מלעיל אז הגרירה: "אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים.."  היא בהכרח '''פסוק אמת''' כי הרישא היא שקרית (הלימסופ הוא אינסוף ולכן לא קיים מספר הגדול ממנו) ולכן לא משנה מה תוצאת הגרירה, הפסוק יהיה פסוק אמת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:25, 9 באפריל 2012 (IDT)


בדומה לרציפות, יש  נגזרת מימין ונגזרת משמאל,  אך במשפטים שלמדנו צריך שהפונקציה תהיה גזירה בכל נקודה בקטע=כל נקודה תהיה גזירה משני הצדדים, ואם מבטיחים גזירות בקטע פתוח אז בהכרח זה משני הצדדים. (בשונה מקטע סגור)
== שאלה למבחן ==


== גבול קשה ==
אפשר להשתמש בעובדה שהטור <math>\forall \alpha \in (-1,0]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתבדר


שאלה 2  [http://u.math.biu.ac.il/~vishne/programs/competition/Q/competition_62.pdf פה?]
ושהטור <math>\forall \alpha \in (-\infty ,-1]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתכנס? או שצריך להוכיח כל פעם?


<s> אינטואיטיבית הסוגריים הם כמו <math>\pi n</math> ולכן הגבול הוא  0 . פורמלית?</s>
:רק תיקון קל, הטור מתכנס אם <math>\alpha<-1</math>.
:: תיקנתי...


:::עקרונית כן, תשאל בזמן המבחן. אם אומרים שלא, אז תוכיח באמצעות מבחן העיבוי (קלי קלות) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


::::קל לראות ש... - [http://knowyourmeme.com/photos/230191-wtf-is-this-shit בודאי!]
::::: נו לאן הגענו ששואלים שאלה ועונים עליה עם מימי ?
תודה בכל מקרה ארז :-)


== רציפות במש ==


:אני חושב שפורמלית הגבול הוא 1. אל תשכח/י שהשורש הוא מספר אי רציונלי. תנסה/י עוד קצת, ואם לא תצליח/י אני אפרסם כאן איך פותרים. (רמז: נמצא את גבול הסדרה <math>\sqrt{n^2+n}-n</math>)
x*logx היא רציפה במש? נראה לי שלא אבל לא הצלחתי למצוא סדרות שיפריכו לי
::יש את הדוגמא הזו במערכי התרגול בנושא רציפות במ"ש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:18, 10 באפריל 2012 (IDT)


::לפי הצבת 100 הגבול הוא באמת 1. ע"י הכפלה בצמוד וחלוקת מונה ומכנה בn מקבלים שהגבול שכתבת שווה חצי. מוסיפים ומחסרים בתוך הסוגריים <math>\pi n</math> ומקבלים ביטוי ששואף ל<math>3\pi/2</math>, ולפי הרכבת רציפות מקבלים הדרוש, לדעתי :)
== האם סביר שיהיה שאלה על נקודות הצטברות במבחן? ==
::איפה נעזרת באי-רציונליות?
זה בדיוק מה שעשיתי (חוץ מזה שהוכחתי גם את התכנסות הסדרה. זה שואף ל1+- לפני הבריבוע, ולכן ל-1), איפה נעזרתי באי-רציונליות? מה זאת אומרת? לא ממש הבנתי את השאלה, אבל אני יכול לומר מה שאני יודע שכן עשיתי: לא יכולתי להשתמש ישר בנוסחה של 0=sin n pi ולכן רציתי להגיע לביטוי שמתכנס לזה. זה למה החסרתי ב-n (לא ככה עליתי על זה אבל זה לא משנה) וככה מצאתי שהביטוי שואף לביטוי אחר שאיתו ניתן להשתמש בנוסחה. מכיוון וזוהי שאיפה, למרות שזה לא בדיוק 0.5 זאת עדיין שאיפה בשונה משורש של מספר לא ריבועי.


== פתרון תר׳ 10 שאלה 3ב ==
ואם כן...
מה עושים עם זה :
תהי A קבוצת נקודות ממשיות. נקרא נקודה פנימית של A  לנקודה  a שייכת ל A עבורה יש סביבת אפסילון מוכלת(עבור אפסילון>0  כלשהו) המוכלת כולה ב- A.
הוכיחו כי אם B היא קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, אזי הקבוצה המשלימה שלB  (שהיא R/B ) אינה מכילה אף נקודת הצטברות שאינה נקודה פנימית של R/B .
::אני בספק אם תהיה שאלה בנושא.  אבל,  בהנחה שנקודות הצטברות נלמדו בהרצאה אני מניח שהסיכוי הוא לא אפס. איך אפשר להוכיח? ניתן להוכיח אפילו יותר- שבתנאי השאלה R\B  אינה מכילה אף נקודה  שאינה נקודה פנימית של R\B (בלי קשר אם הנקודה היא נק' הצטברות). נניח בשלילה שקיימת נקודה x השייכת לR\B וגם  שx אינה נק' פנימית של R\B.
x אינה נק' פנימית של R\B  ולכן משלילת ההגדרה של נק' פנימית נקבל שכל סביבת אפסילון של x לא מוכלת ב R\B. זה שקול לכך שהחיתוך של כל סביבת אפסילון של x עם B אינו ריק. כמו כן מכיון שx שייכת ל R\B
אז לכל אפסילון > 0 בחיתוך הנ"ל שאינו ריק קיימת נקודה השונה מx. לכן עפ"י ההגדרה (או אחת השקולות)
x נקודת הצטברות של B אבל הקבוצה B מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, ומכאן x שייכת לB בסתירה לכך ש  x שייכת לR\B.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:32, 10 באפריל 2012 (IDT)


ה0= בפתרון לx=1 הוא טעות, נכון?
== רציפות במש ועוד שאלה... ==


כנראה שאתה צודק. כי:  
להוכיח או להפריך שxcosx רציפה במש(אני די בטוח שזה הפרכה) ולהוכיח ש:הטור an מתכנס בהחלט אם ורק אם לכל סדרה bn המתכנסת ל0 הטור anbn מתכנס
1.צריך להוכיח שאותו גבול לא קיים.
הצלחתי את הכיוון של אם an מתכנס בהחלט אבל לא הצלחתי את השני טנקס!!!
2.הגבולות החד צדדיים הם 1,1-.
וגם x*sin(1/sinx) למצוא נקודות אי רציפות:מצאתי שx=pi*k זה נקודות האי רציפות ומצאתי ש0 זה נקודת אי רציות סליקה אבל בקשר לשאר הנקודות אני לא יודע


== אחוז ציון תרגיל ==


הציון תרגיל מהווה 10% או 20% מהציון הסופי?
לגבי <math>xcosx</math> אתה בוחר שתי סדרות <math>x_n , y_n</math> כך שהפרשן מתכנס ל-0, אבל <math>f(x_n)-f(y_n)</math> לא מתכנס ל-0.


== עליתי על טעות בחלק מהוכחות על דרך השלילה באתר + שאלה ==
לגבי הנקודות אי רציפות אני מזכיר שאם אחד הגבולות החד צדדים הוא אינסוף, זה נקודת אי רציפות מהסוג השני.
אם שני הגבולות החד צדדיים שווים, אבל בנקודה הזאת הפוקנציה לא מוגדרת, זה נקודת אי רציפות סליקה.


אם מוכיחים משהו על דרך השלילה, חייבים להראות שמה שנותר כן עובד. דוגמא: באינפי, תרגיל 10 שאלה מס' 4: הראנו שהאפשרות של f לא קבועה לא מקיימת את התנאים, אך עדיין נותר להוכיח ש-f קבועה מקיימת את התנאים! זה לא קשה אבל הכרחי.
לגבי הטורים: מניחים שלכל סדרה <math>b_n</math> שמתכנסת ל-0 הטור <math>\sum a_n b_n</math> מתכנס, ואז אתה בוחר בחכמה את הסדרה <math>b_n</math> בצורה כזו שאתה מגיע ישירות מהטור <math>\sum a_n b_n</math> לטור <math>\sum |a_n|</math> . מקווה שעזרתי :-)
אפשר כאילו עזרה יותר ממה שברור מאליו? אני ניסיתי איזה שעה ומשהו את זה ולא הצלחתי..


דבר נוסף, בבוחן הקרב, מותר להשתמש בנימוקים שיש בפתרונות של התרגילים? (שם אומרים-"קל לראות שסדרות אלו שואפות ל-1" בהוכחה עצמה, האם בבוחן גם מותר?)
:יש תשובות לכל השאלות האלה במערכי התרגול ובפתרונות תרגיל הבית מהשנה ומשנה שעברה. לגבי השאלה האחרונה, מחשבים גבולות חד צדדיים בעזרת לופיטל --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::אם רוצים להוכיח שא' גורר ב' זה שקול להוכיח ששלילת ב' גוררת שלילת א'. אין שום צורך להראות שפונקציה קבועה מקיימת את התנאים. יש שני מצבים פונקציה קבועה ופונקציה שאינה קבועה. אנו צריכים להוכיח שאם התנאים מתקיימים אז הפונקציה קבועה וזה שקול לכך שאם הפונקציה לא קבועה אז התנאים לא מתקיימים.


אם רוצים להוכיח א' גורר ב'. אז אם תנאי א' לא מתקיימים אף פעם הגרירה מוחזקת כפסוק אמת.
== מועד א' מדמ"ח שאלה 4 א' ==
אגב, אם השאלה היתה בניסוח של אם ורק אם אז הטענה שלך היתה נכונה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:01, 28 בינואר 2012 (IST)


== תרגיל 11 שאלה 1 ==
בפתרון רשמתם ש: כיוון שגבולותיה של הנגזרת באפס ובאינסוף סופיים והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע.


קראתי את הפתרון ולא הבנתי:
לכן לפי משפט הפונקציה f רציפה במ"ש בקטע.
עכשיו לא לגמרי ברור לי למה הגבול באפס של הנגזרת סופי..כאילו הקוסינוס של <math>1/x</math> יכול להיות כמעט כל דבר כש הx שואף לאפס..


1. למה אם לפי הגדרת הגבול מתיחסים לX>M הקטע שמתייחסים אליו הוא
: את צודקת, הניסוח שגוי. הנגזרת היא סכום של שתי  פונקציות. הקוסינוס חסומה ולפונקציה השנייה גבולות סופיים ולכן חסומה. סכום חסומות היא חסומה --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
(M,INFINIT] כלומר כוול את M.


2. מה לגבי המקרה שבו איקס 1 איבר במM עד אינסוף והשני בקטע מa עד M פלוס 1?
== מבחן דמה למתמטיקאים... ==


:1. זה נכון, צריך לקחת נקודה טיפה אחרי M
בקשר ל4 ב כאילו צריך שהנגזרת של הרציונלים תהיה שווה לנגזרת של האי רציונלים וגם שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה?
5א אפשר רמז?
:לגבי 4ב - כן. לגבי 5א - איזה אי רציפות יש לפונקציה? תחשוב על פונקציה כזו לדוגמא ותראה מה קורה בה, ואולי תבין... --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::הבנתי שהנקודת אי רציפות הינה מסוג שני שהגבול אינו מוגדר(כאילו לא אינסוף) אבל מה הלאה? נראה לי משהו ברציפות במש כאילו הוכחתי שהנגזרת לא יכולה להיות חסומה מלעיל וגם מלרע אבל לא רק להוכיח שהיא לא יכולה להיות רק מלרע/מלעיל
:::אם הפונקציה קופצת בין שני גבהים שונים היא צריכה גם לעלות וגם לרדת. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::::אז? כאילו אין לי שום רעיון עם זה... כאילו נגזרת חיובית ושלילית?
:::::הנקודות בציר x מתקרבות, ובציר y מתרחקות, מה זה אומר על השיפוע? --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
אולי תעלה את התשובה באופן מסודר אני בחיים לא אצליח את זה וגם מלא לא מצליחים את זה...(כאילו עד עכשיו אף אחד לא פתר לי את זה)


:2. צריך למצוא דלתא כלשהי. אם דלתא קטנה מאחד, זה מבטיח שהזוג יהיה באחד הקטעים, ולכן יש לו דלתא כזו באמת... --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
== בקשר למבחן דמה השני שאלה 5 ==


== שגיאה בתר' 12 שאלה 8? ==
f(x)=0 זה הרכה על א לא? כי הנגזרת היא 0 ומונוטנית וגם הפונקציה מונוטנית
:נכון--<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


אסור  להשתמש בלגראנז' כי גזרנו את סינוס לפי גבול לפי מה שצריך להוכיח.
== שאלה לגבי המבחן ==
:: נכון.יפה שעלית על זה.  אתם יכולים לדלג על שאלה זו. לטובת מי שלא הבין את מה שנאמר כאן (האמת שאני אחד מהם עד שפיענחתי את כוונתך), כדי לגזור טנגנס צריך לגזור סינוס וקוסינוס. בהוכחת הנגזרת של סינוס משתמשים בגבול <math>\lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x}=1</math>. אבל את הוכחת הגבול הזו מוכיחים בין השאר באמצעות אי השוויון <math>tan x>x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>.


אבל אי השוויון האחרון זה מה שאנו מבקשים להוכיח בתרגיל. אי אפשר לעשות זאת עפ"י לגרנז' כי הנגזרת של
האם יהיה במבחן שאלה של גזירת פונקציות כמו שהיו במבחנים של פרופ זלצמן?
tan(x נובעת מאי השוויון הזה לפי כל מה שתואר לעיל (לפחות לפי המסלול של ההוכחות הזה). זה יוצר סוג של לולאה.


בכל מקרה איך הוכחתם בהרצאה את אי השויון <math>tan x>x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>?
לדוגמא: גזור את הפונקציה
הההוכחה היתה גיאומטרית. שורה תחתונה- ניתן להתעלם מהשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:08, 30 בינואר 2012 (IST)
<math>\frac{\arctan (e^{sin(x)})}{(log(x))^2}</math>
:לא בטוח שבאופן ישיר, אבל צריך לדעת לגזור כחלק מלופיטל וכדומה --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


:לא הוכחנו. ההוכחה לא פשוטה -- המרצה אמר שנתעלם מזה. (אפשר להגדיר מלכתחילה את טנגנס לפי <math>x+x^3/3+(2 x^5)/15+...</math> ואז טריוויאלי, אבל במקרה כזה צריך להראות שההגדרות שקולות - וזאת בעיה בלי נגזרת...)
== יש נגזרת כללית בטור טיילור במבחן?ואם כן אפשר לדעת אותה? ==
:: היה נדמה לי שתלמידי ד"ר הורוביץ ראו את ההוכחה הגיאומטרית. (לא יודע אם אתה בקבוצה שלו). ההוכחה הגיאומטרית אינה מסובכת. אפשר למצוא אותה למשל בספרים סטנדרטיים של אינפי (בספר של בן ציון קון לפחות  יש).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:34, 31 בינואר 2012 (IST)
:::היא לא מסובכת כי היא רמאות. ד"ר שיין הביא אותה, ואז הבהיר שנשאר מה להוכיח. (מחליטים בלי סיבה שקו אחד גדול מהשני, או משתמשים בנוסחה לשטח שמקבלים מאינטגרלים שמקבלים מ... הנגזרת של סינוס :) יש שיטות לא קשות, אבל הן דורשות הכנה קטנה (מיצוי) או עבודה (5 דקות גיאומטריה))


== רבמ"ש שיטת הסדרות מערכי תרגול ==
טנקס


תוכלו להעלות הוכחה לשיטה?
== תרגיל מת"א ==
כמו כן, צריך להיות <math>a>0</math> ולא רק שונה.


:ההוכחה דיי טריוויאלית, אם יש אינסוף זוגות כאלה, אז לכל דלתא יש זוג. ותיקנתי לגבי הa, תודה. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
איך פותרים את 8א מתרגיל 4?


== אני נורא מבולבל  ==
== שאלה לא סטנדרטית ==


הממ אמרו לנו שיש פונקציות שמוגדרות על כל הישר כמו sin(x),cos(x),x וכו' מה קורה באינסוף או במינוס אינסוף נניח אפשר לקחת בעבור cos(x) שתי סדרות ששואפות לאינסוף אבל עם גבולות שונים אז זה אומר ש cos(x) לא מוגדרת באינסוף לא? ומה עם x או a^x האם הן מוגדרות באינסוף?
אני מעוניין לפרמל ולהוכיח את הטענה שככל שנסתכל על טווח גדול יותר, הפונקציה <math>\sum_{k=1}^{N}sin^2(k)</math> תהיה קרובה יותר לישר <math>f(x)=\frac{1}{2}x</math>.


:פונקציה אינה מוגדרת באינסוף, לפעמים יש לה גבול ולפעמים לא. יש גבול (לפי היינה) אם לכל סדרה השואפת לאינסוף, הפונקציה עליהן שואפות לגבול. לסינוס וקוסינוס בבירור זה לא מתקיים --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
דא עקא, אין לי קצה חוט.


== השארית בטיילור יורדת? ==
(בהשראת שאלה משימושי מחשב - בדקתי עד <math>10^6</math>, הטענה נכונה.)


תהי <math>f</math> פונ' ממשית וגזירה. האם בהכרח סדרת השאריות (של פולינום טיילור שלה סביב נק' כלשהי בתחום הגדרתה לאחר שהוצבה בו נק' אחרת) <math>\left \{ R_n \right \}</math> היא לא-עולה?
== בקשר למועד ג ==
::לא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 31 בינואר 2012 (IST)
:::דוג' נגדית?
:::זה רע, לא? אז מה הטעם בבחירה של n גדול כשאנחנו אפילו לא בטוחים שזה יביא לקירוב טוב יותר?
::בדוגמאות המעניינות השארית שואפת לאפס ולכן ניתן לדאוג שהשגיאה תהיה קטנה כרצוננו.


לגבי דוגמא נגדית- פתח את הפונקציה <math>x^3</math> סביב הנקודה 1.
האם אפשר לשאול עדיין שאלות פה?
האם הפורום פועל עד למועד ג?


פולינום טיילור מסדר 1 הוא <math>1+3(x-1)</math>
תודה
:כן
ענו פה כן באנונימיות
האם זה כן של אחד המתרגלים?


פולינום טיילור מסדר 2 הוא <math>1+3(x-1)+3(x-1)^2</math>
:כן




פולינום טיילור מסדר 3 מתלכד עם הפונקציה והוא  <math>1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3</math>
== שאלה כללית על הטור סיגמא 1/n ==


אם נציב עכשיו את הנקודה <math>-2</math> בפונקציה נקבל את הערך <math>-8</math>.
הרי ההגדרה להתכנסות של טור היא ש
אם s1...sn שואפים ל-L
כלומר קיים גבול סופי לסדרת הסכומים החלקיים אז הטור מתכנס ובקשר ל
1/n


אם נציב את הנקודה <math>-2</math> בפולינומי טיילור מסדר 1,2,3 נקבל את הערכים:<math>-8,19,-8</math>
זה נראה
s1=1/1
s2=1/1+1/2
s3=1/1+1/2+1/3


השאריות התקבלות הן אפס אח"כ 27 ואח"כ שוב אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:19, 31 בינואר 2012 (IST)
וזה נותן הרגשה שיש התכנסות כי התוספת הולך ונהיית קטנה יותר
עכשיו זה דוגמא למקרה שאני רוצה לבדוק בעזרת האינטאויציה אם טור מתבדר/מתכנס אז למקרים דומים זה אומר שפשוט לא להסתמך על האינטואיציה?


== תרגילים מדמח ==
תודה
:האינטואיציה שאתה מתאר היא שטורם מתכנס אם ורק אם הסדרה שלו שואפת לאפס. זה לא נכון כמו בדוגמא שהזכרת, כי הסדרה אינו יורדת מספיק מהר/חד/תלולה לאפס --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


כמה תרגילים יהיו למדמ"ח ומתי צריך להגיש כל אחד מאלה שנשארו?
== האם יש פירוק יפה לביטוי ==
:זהו, נגמר. צריך להגיש הכל השבוע. לצורך לימוד למבחן כדאי לפתור תרגילים של המתמטיקאים --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::אבל איזה תרגילים צריך להגיש? עד 10? 11?


== רבמ"ש ==
1-sqrt3(x)
במילים אחד פחות שורש שלישי של איקס
תודה


<math>x^‎{1.01}</math> רציפה במ"ש בR? (התחושה היא שלא)
::התחושה נכונה. נניח בשלילה שהפונקציה <math>f(x)=x^{1.01}</math> רבמ"ש. לכן גם <math>f(f(x))</math>


רבמ"ש וגם הרכבה של f על עצמה "מספיק פעמים תהיה רבמ"ש. אם מרכיבים את f על עצמה מספיק פעמים מקבלים
**
את הפונקציה <math>g(x)=x^{2+t}</math> עבור t>0. כעת להוכיח שg אינה רבמ"ש זה כבר יותר קל
תנסה להתייחס לזה כאל1/3^(x-1)ואז תנסה להמשיך עם הנוסחא a^3-b^3=(a-b)*(a^2+b^2+ab
(למשל דרך הסדרות <math>n</math> ו<math>n+\frac{1}{n}</math> )וכך מקבלים סתירה. מה שאומר שהפונקציה f
בהצלחה!
אינה רבמ"ש.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:01, 3 בפברואר 2012 (IST)


== עוד רבמ"ש ==
== קצת סדר בנוגע לגבולות עליונים ==


<math>x^2sin(1/x)</math> רבמ"ש ב<math>R_+</math>?
תהיינה <math>\left \{ a_n \right \},\left \{ b_n \right \}</math> סדרות. האם תמיד מתקיים <math>\overline{\lim}a_nb_n=\overline{\lim }a_n \; \overline{\lim }b_n</math>
, כשהגבולות הנ"ל קיימים?
:לא בהכרח. קח <math>a_n=0; b_n=1</math> לכל n זוגי ו-<math>a_n=1; b_n=0</math> לכל n אי זוגי. המכפלה היא סדרה שקבועה על אפס, לכן הגבול העליון שלה הוא 0, בעוד שעבור כל אחת מהסדרות המקוריות הגבול העליון הוא 1. [[משתמש:gordo6|גל]].


: הנגזרת חסומה בקטע (הגבולות שלה באינסוף ו0 שואפים ל2 ו1 בהתאמה, והיא רציפה)
::אבל זה נכון אם אחת מהסדרות מתכנסת


== ציוני תרגול סופיים ==
== הרבה סדר בנוגע לגבולות עליונים ==


מתרגלים יקרים, הקובץ של הציונים הסופיים בתרגול שפרסמתם מתייחס לתיכוניסטים? אני, תיכוניסט מס' 206086704, את ציוני שם לא מצאתי.
איך מוכיחים את טענת אופיר?


:אתה מתכוון לתוצאות הבוחן הרביעי?  --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
:יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון, וכל תת סדרה של נסדרה השנייה מתכנסת לגבול. אז המכפלה ביניהם שווה למכפלה בין הגבול (שהוא גם הגבול העליון) של הסדרה המתכנסת לבין הגבול העליון
היי!!!


תוכלו לעלות פתרונות לאינפי 12?
== קבוע בחזקת משהו ששואף ל0 ==
תודה!


== לימוד למבחן. ==
האם אפשר להגיד מיד שהביטוי הנ"ל שואף תמיד ל1?
:כן, כי זו פונקציה רציפה --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


זה מאוד יעזור אם תכתבו פה איך אפשר ללמוד למבחן בצורה הכי טובה.
== גבול של פונקציית הערך השלם ==
תודה :)


:כמו בכל מבחן, לעבור נושא נושא על הרצאה, תרגול, תרגילי בית. אחרי זה לקחת מבחן משנה קודמת, לשבת עליו שעתיים לבד בלי חומר עזר ולהעריך את היכולות שלך. (וחוזר חלילה) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
היה בבתרגיל 9 למתמטיקאים למצוא את הגבול של
פונקציית הערך השלם של 1/x * כפול x(רגיל) ובפתרון שלכם זה נפתר בעזרת גבולות חד צדדיים בספר של קון השאלה הזו מופיעה לפני הפרק של גבולות חד צדדים ז"א שניתן לפתור את זה בשיטה אחרת קדומה יותר בחומר..?


== שאלה לגבי המבחן ==
תודה ונ.ב האם אפשר להעלות לכאן תרגילים חיצוניים שלא הצלחתי?


האם יהיה צריך במבחן להגדיר הגדרות ?
:אם מוכיחים משפט צריך להגדיר אותו היטב. אם פותרים תרגיל צריך לדעת באיזה משפט או הגדרה השתמשת במדויק --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== חזקה של גבולות ==
:אפשר להוכיח לפי ההגדרה הרגילה, ואפשר להעלות תרגילים ממקומות אחרים. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


אם בסיס החזקה שואף אבל לא שוה ממש לסמפר ממשי גדול מ1 ומעריך החזקה הוא n האם זה נכון שהביטוי שואף לאינסוף? (ובאופן דומה לאפס שכהביטוי בבסיס שואף למספר בין 0 ל1)
== טיפול בסיסי בגבולות ==
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:26, 6 בפברואר 2012 (IST)


== טעות בת.ז ==
תהי f פונ' ותהי a נקודה כך ש- <math>\lim_{x\rightarrow a}f(x)</math> קיים. תהי g חח"ע.  


בבחנים האחרונים באינפי טעו בדף הציונים שפורסם באתר בת.ז שלי (אותה הטעות) במקום 313525'''727''' יש 313525'''777'''
איך מוכיחים (או מפריכים, מה שנראה לי לא סביר) שגם הגבול <math>\lim_{x\rightarrow g(a)}f(g^{-1}(x))</math> קיים, והם שווים?
ההגדרה לא מביאה אותי לכלום.
:g רציפה? כי אם לא זה בוודאי ממש לא נכון. אם היא כן רציפה, החח"ע גוררת מונוטוניות לפי תכונת ערך הביניים, ואז זה בטח לא קשה להוכיח --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::איך המונוטוניות של g  ושל ההופכית שלה עוזרת?


אם אפשר לשנות או לבדוק במערכת לגבי הקורס עצמו (למקרה שאני רשום בת.ז לא נכונה)
== פולינום טיילור ==
דרך אגב זה קרה רק באינפי.


== פתרונות של מבחנים ==
נתקלתי היום בתרגיל למצוא פולינום אשר מקרב אותי לפונקציה שורש e עכשיו אנו יודעים שצריך לפתח סביב נקודה נוחה כלומר במקרה שלנו לקחנו את הפונקציה שורש x ונקודה נוחה נראית כביכול 1 או 4 אבל זה בלתי אפשרי כמעט היה לפתור עם אחד מאלה ולכן בחרתי את הנקודה 2 שהיא פחות נוחה לחישוב אבל פותרת יותר מהר, והשאלה שלי האם זה לגיטימי שעבור מספרים נוחים לחישוב אני לא יצליח לפתח ועבור מספרים פחות נוחים (אלא אם שורש 2 נחשב נוח) אצליח לפתח?


לא לכל אלה שבמאגר יש פתרונות...איפה הם נמצאים?
תודה
:אין פתרונות למאגר, הוא עלה רק לפני חודש. ככל שיפתרו יותר יהיה יותר פתרונות --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== שאלה מטופשת ==
== בקשר לשאלה מהמבחן של מועד א השאלה על פולינום טיילור ==


אם פונקציה היא גזירה בנקודה אז היא בפרט מוגדרת בסביבתה, נכון? (היה ברור לי שכן, אבל ראיתי במבחן שנתון שפונקציה "מוגדרת בסביבת נקודה וגזירה בה".)
איך הגעת ש i=3 בטווח של x בין 0 ל-1 האם אפשר פירוט?
:כן, כי מוגדרות זו דרישת סף לקיום גבול. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


== סיבוכיות יתר... ==
לי יצא 4 יש מצב שיש שם טעות?


אני טוען <math>\lim_{n \to \infty }\lim_{k \to \infty } \frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}}=0</math>.
בכל אופן אם אפשר לקבל פירוט של איך הגעת לזה זה מאוד יעזור


(פורמלית, <math>\lim_{n \to \infty }\left \{ \lim_{k \to \infty } \frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}} \right \}_{n=1}^\infty </math>)
תודה


ניסיתי להבין מה בעצם כתבתי בלשון אפסילון ודלתא (בלי שימוש ב(פרדיקט?) lim), ולאחר כאב ראש או שניים יצא הביטוי הבא:
== סכום סדרה הנדסית  ==


<math>\lim_{n \to \infty }\lim_{k \to \infty } \frac{2^k+3^k}{2^{k+m}+3^{k+m}}\leftrightarrow \forall \epsilon >0\exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n>N_\epsilon \exists L \in \mathbb{R}:(\forall \alpha >0\exists K_\alpha \in \mathbb{N}\forall k>K_\alpha :(|\frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}}|<\alpha \wedge |L|<\epsilon ))</math>


אשמח אם מישהו יאשר


1)את קיום המשמעות בכלל למה שרשמתי, ואת נכונות:
השאלה שלי באה לידי ביטוי בהבדל בין התשובות של שאלה 3 א' בקישור: http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/פתרון_מועד_א_מתמטיקאים לבין שאלה 3 בקישור: http://math-wiki.com/images/c/c4/10Infi1Targil6.pdf


2)הטענה (על הגבול),
הבנתי את זה ככה:


3)השימוש במילה פרדיקט,  
סכום סדרה הנדסית: אם נתון לי שהטור מתכנס ומה שמתבטא בניסוח "חשבו מה הגבול" (כמו בקישור השני) מותר לי להשתמש אוטומטית בנוסחה: a1/1-q בעצם כי ידוע ש q<1
וכאשר אני נשאלת (כמו לדוג' במבחן ממועד א'-קישור ראשון) האם הטור בכלל מתכנס וה-n הרי כל הזמן משתנה. באיזה נוסחא עלי להשתמש? ומדוע?
:אני לא בטוח מה הכוונה בשאלה. כאשר הטור הוא טור הנדסי, כלומר קבוע בחזקת n, בודקים אם הקבוע קטן מאחד או לא (כפי שאמרת). אם הטור אינו הנדסי, משתמשים במבחני התכנסות אחרים... למה צריך להיות קשר בין השניים? --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>


4)הביטוי.
* במה השתמשת בפתרון של מועד א' שאלה 3 סעיף א'?
:: התרגיל קשור לגבול חוזר שאותו לומדים באינפי 3 ואולי ב2 אבל אני לא חושב שבאינפי 1. הגבול אכן שווה לאפס. לכל n קבוע הגבול הפנימי הוא <math>\frac{1}{3^n}</math> ומכאן אפשר להסיק שהגבול החוזר הוא אפס.
::לא ברורה לי החלפת n בm וכן איך קיבלת את הביטוי עצמו. אני לא רואה איפה האינדקס k משתלב אצלך. על פניו מה שרשמת אינו שקול לכך שהגבול החוזר הוא אפס.
::--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:33, 7 בפברואר 2012 (IST)
:::ה-m הייתה שגיאת הקלדה. תיקנתי את K. עכשיו בסדר?
::נראה לי שבסוף אין צורך לקחת L בערך מוחלט שקטן מאפסילון אלא פשוט L שקטן מאפסילון וכמו כן במקום
<math>(|\frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}}|<\alpha</math>
צריך <math>(|\frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}}-L|<\alpha</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:31, 7 בפברואר 2012 (IST)
:למה לא צריך ערך מוחלט?


== שאלות באינפי... ==
== בקשר לבזיליקום ==


אפשר עזרה בלהוכיח שהיינה בורל ובולצאנו ווירשטראס שקולים ובנוסף איך מראים שגבול חלקי עליון וגבול חלקי תחתון תמיד קיימים??? מה קורה אם יש לי אינסוף גבולות חלקיים?
ארז אתה יודע אולי אם אני  מכין מקרונים אני אמור לשים את הבזיליקום בזמן הבישול של המקרונים עם המים או אחרי פשוט לפזר? תודה

גרסה אחרונה מ־15:31, 24 בנובמבר 2016

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

ארכיון 1

ארכיון 2

ארכיון 3

ארכיון 4

שאלות

איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט

כלומר לכל טור חיובי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] שמתבדר קיים טור [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר כך ש: [math]\displaystyle{ \frac{b_n}{a_n}\to 0 }[/math]

בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל-10 ולהפוך אותו לעשרה אברים, את האבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה אברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --ארז שיינר

אבל הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] לא בהכרח יורדת

איך מוכיחים את מבחן ראבה

נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה

לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --ארז שיינר

מבחן

מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה? לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות

זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --ארז שיינר
יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה
המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --ארז שיינר

בקשר לגבולות של סדרות

אם יש לי סדרה [math]\displaystyle{ A_n }[/math] של חיוביים ומצאתי סדרה [math]\displaystyle{ B_n\gt A_n }[/math] ששואפת לאפס, האם גם [math]\displaystyle{ A_n }[/math] תשאף לאפס אם כן למה?

חוק הסנדויץ'. [math]\displaystyle{ 0\le a_n\le b_n }[/math] --ארז שיינר

חזרה על התרגילים

בתרגיל 3 שאלה 4 סעיפים א,ב,ג

האם יש קשר בין [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כלומר אברי הסדרה an1 an2.....

ל a אליו הוא שואף?? תודה

לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --ארז שיינר

גבול החסמים העליונים

האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?

אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --ארז שיינר

פתרונות למבחנים

אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?

אם אתה כותב LaTex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --ארז שיינר

אני כותב בעזרת [1] והאתר משום מה תמיד כותב לי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג), דוגמא: [math]\displaystyle{ [a_n=S_{n-1}\Delta^2] }[/math] הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד [math]\displaystyle{ a_n=S_{n-1}\Delta^2 }[/math] ללא שימוש בתרגום ל-LaTex, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

קראתי חלק מ-[2] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉ מהו הקוד של ירידת שורה?

(לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.
איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?
תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעיה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מ-LaTex, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --ארז שיינר

איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה?

כלומר אם מתקיים [math]\displaystyle{ \forall 0\leq t\leq 1,x,x_0\colon f((1-t)x+t(x_0))\le(1-t)f(x)+tf(x_0) }[/math]

נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --ארז שיינר
ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באזור --ארז שיינר
אפשר להרחיב ? כלומר, איך מראים את זה בשימוש בנתונים הנ"ל ?
נביט שתי הסדרות השואפות לאותה נקודה, עליהן הפונקציה שואפת למקומות שונים. אחד המקומות גבוה מהשני. תיקח שתי נקודות מהסדרה הנמוכה שיש נקודה מהסדרה השנייה בניהן, אז הפונקציה תהיה מעל לקו העובר בין שתי הנקודות בנקודה השלישית, בסתירה. (תנסה לצייר את זה קודם, זה יעזור)--ארז שיינר

מתי שיעורי החזרה?

תודה

[math]\displaystyle{ \sum x^2 }[/math]

תרגיל 12 שאלה 2 C

הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:

[math]\displaystyle{ \frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} }[/math]

יש שם טעות. --מני 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)
תודה רבה

תרגיל 12 שאלה 3 a

שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:

[math]\displaystyle{ 2^{x^e}=e^{\log(2^{x^e})} }[/math]

זה לא אמור להיות:

[math]\displaystyle{ 2^{x^e}=e^{\ln(2^{x^e})} }[/math]

הסימון [math]\displaystyle{ \log(x) }[/math] משמש לעתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל- [math]\displaystyle{ \ln }[/math] כלומר ללוגריתם בבסיס [math]\displaystyle{ e }[/math] . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --מני 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)
תודה רבה

שיעורי חזרה

1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?

2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?

הבהרה

שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)

יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --לואי 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)

אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(

מבנה המבחן

מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?

אריתמטית של גבולות

אם סדרה אחת שואפת לאינסוף והאחרת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?

לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההפך?

אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.


טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --מני 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)

ערכים של טורים

האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסוימים? (לכמה הטור שווה) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה? מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המבחן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה ל- [math]\displaystyle{ f }[/math]

עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:

לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך. לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.

שאלה שניה - [math]\displaystyle{ b_n\gt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ b_{n+1}\gt b_{n+1}/b_n }[/math] לכן אם [math]\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_n} }[/math] שואף לאינסוף אז כך גם [math]\displaystyle{ b_{n+1} }[/math] (ולכן גם [math]\displaystyle{ b_{n} }[/math]) --מני 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)

נגזרת ורציפות

אם f גזירה פעמיים ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?

כן. באופן כללי גזירות בנקודה גוררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--מני 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)

הגדרת החזקה - שיעור ראשון

איך מוכיחים ש [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m }[/math]?

נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת [math]\displaystyle{ n }[/math] ונקבל סתירה, לפי החוק [math]\displaystyle{ (a^n)^m=(a^m)^n }[/math] (אותו קל להוכיח) --ארז שיינר
ציין אם זה נכון: בגלל ש- [math]\displaystyle{ n,m }[/math] הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל- [math]\displaystyle{ a^{nm} }[/math] , ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל
[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{x^m}\ne(\sqrt[n]{x})^m\Rightarrow x^m\ne((\sqrt[n]{x})^m)^n\Rightarrow x^m\ne((\sqrt[n]{x})^{mn}=((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m }[/math] בסתירה.
כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --ארז שיינר

היינה באינסןף

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L }[/math] , זה אומר לפי היינה שגם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}f(n^2-n\ln(n))=L }[/math] , נכון?

נכון. --מני 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)

מבחן תשנ"ט שאלה 2ג.

במבחן כתוב [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log\left(\frac{1}{n}\right)} }[/math] כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.

נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --מני 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)
זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)

גבולות

אם סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת למספר טבעי ממשי מאפס וסדרת [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שואפת לאפס דרך החיוביים. [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} }[/math] שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?

מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --ארז שיינר

דוגמה 2 לטורים חיוביים

יש טעות במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.

מוזמן לתקן. --ארז שיינר
תיקנתי.

[math]\displaystyle{ 0^0 }[/math]

יש דוגמה לגבול מהצורה [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] ששואף ל-2?

[math]\displaystyle{ 2\Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}} }[/math] --ארז שיינר
לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.
[math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2^nn}\right)^{-\frac{1}{n}} }[/math] ככה? (: --ארז שיינר
כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... ([math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2^n}\right)^{\frac{1}{n}} }[/math] זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math])

דוגמה 3 לטורים חיוביים

[[3]] התכוונתם לרשום שלפחות שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק ל-n ששקול ל0 מודולו 3.

נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח

"נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- [math]\displaystyle{ \frac{n}{3} }[/math] , ומכיון שיש לפחות [math]\displaystyle{ \frac{2}{3}n }[/math] כאלה נקבל ש

[math]\displaystyle{ n!=1\times2\times\cdots\times\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\times\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1\right)\times\cdots\times n\ge1\times2\times\cdots\times\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\times\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac{2}{3}n}\ge\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac{2}{3}n} }[/math]

ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."

(לא התייחסתם, אז הוספתי.)

דוגמה 5 לטורים חיוביים

הוכחת האינדוקציה נראית לי שגויה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט [math]\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\ge\frac{a_{n+1}}{a_n}\frac{b_n}{b_1}\ge\frac{a_{n+1}}{a_n}\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1} }[/math] (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינדוקציה)

תוקן --ארז שיינר

טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4

בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.

שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008

בשאלה כתוב הגבול של הסדרה [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\bigg[\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}\bigg] }[/math]. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?

תכפילו ותחלקו ב- [math]\displaystyle{ \sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}} }[/math] .

--מני 19:17, 21 בפברואר 2012 (IST)

ואז?
מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב- [math]\displaystyle{ \sqrt{n} }[/math] --מני 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST)

פונקציות

איך באופן כללי לענות על שאלות רציפות? עם כל ההגדרות כמו שכתוב במערכי תרגול או שאפשר גם לכתוב איפה שאפשר ב"הגיון"?

לפי הגדרות ולפי משפטים בלבד --ארז שיינר

שאלה

הוכיחו כי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ C\gt 0 }[/math] כך שלכל סדרה [math]\displaystyle{ \{b_n\}_{n=1}^\infty }[/math] המקיימת כי [math]\displaystyle{ |b_n|\le1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\N }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=0 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n\le C }[/math]

נ"ב, אני משום מה לא מצליח לרדת שורה, למרות שאני לוחץ על אנטר. תודה

השאלה הופיע בתרגילי הבית של תשע"א: ראה פתרון של תרגיל 8.
בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה.

שאלה ממערכי תרגול - פונקציות קושי

היי ארז! מצ"ב מערך תרגול http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94 בשאלת ההוכחה הראשונה של קושי בה צריך להוכיח שהגבול הוא שמונה, לאחר שעשינו מכנה משותף ופישטנו את הביטוי והשאפנו את איקס ל-2 מה מעיד על כך שצריך להגדיל את השבר?ו..איך מוצאים את הדלתא????

אנחנו רוצים להגדיל את כל הביטוי, ולמצוא דלתא שמבטיח שאפילו אחרי שהגדלנו הביטוי יהיה קטן מאפסילון ללא תלות באיקס. על מנת להגדיל את הביטוי אנחנו צריכים להקטין את המכנה. על מנת להקטין את המכנה אנחנו צריכים למצוא מספר גדול מאפס שקטן תמיד מהמכנה. אנחנו בוחרים דלתא שנותן לנו מספר כזה.. --ארז שיינר

בתרגיל להלן שיש לו קישור

לא ברור איך ידעת מאיפה להתחיל .. אפשר הסבר לאיך הגעת לנקודת ההתחלה מה רמז לך לזה? תודה http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA


יש שם כמה תרגילים, הכוונה לראשון? כאשר אנחנו מקבלים סדרה שאנו רוצים להוכיח שהיא מתכנסת יש לנו מספר שיטות. האחת היא להראות מונוטוניות וחסימות, השנייה היא למצוא נוסחא מפורשת (קשה במקרה זה) ואחרת היא להראות תנאי קושי. אין דרך לדעת בוודאות מראש איזו שיטה עובדת, יש לנסות את כולם עד אשר מצליחים לפתור את התרגיל. --ארז שיינר
סורי שלא ציינתי זאת התכוונתי לתרגיל השני עם a1=אלפא b1=ביטא נ.ב- "לא קונה בלי תימני"
כמו בתרגילים אחרים, העצה היא להתחיל לרשום כמה איברים ראשונים של הסדרה. מהר מאד רואים שאחת עולה, השנייה יורדת, והשנייה גדולה מהראשונה. אחרי שרואים את זה ניגשים להוכיח במרץ --ארז שיינר

היינה- שאלה קטנטנה

היי, בקובץ המצורף http://math-wiki.com/images/7/7b/10Infi1Targil8Sol.pdf בשאלה 3. השאלה פשוטה עקרונית. אבל מבחינת ההוכחה יכולתי לומר שמתקיים לכל סדרה לקחת בפרט סדרה כלשהי (נגיד 1 חלקי n ) ששואפת ל-0 להפעיל עליה את f ולומר שמדובר על מכפלה של אפסית בחסום ולכן הגבול אפס. אמת?  

לא מספיק להוכיח לסדרה מסויימת, חייבים להוכיח שזה מתקיים לכל סדרה. אחרת יכול להיות שעל הנקודות של 1 חלקי n קורה משהו אחד, ועל נקודות אחרות בסביבת אפס קורה משהו אחר --ארז שיינר

הוכחה של גבול

היי, השאלה: הוכח שlimcosx=1 כאשר x שואף ל-0. בוחרים סדרה כלשהי שמתכנסת ל-0 ואז מה ניתן לעשות? תודה

תלוי מאיפה השאלה בחומר. בהרצאה הוכחנו שקוסינוס וסינוס הן פונקציות רציפות, זה נובע ישירות מהגדרת הרציפות --ארז שיינר

לא הצלחתי שאלה במבחן מסוים...

http://www.studenteen.org/inf1_exam_zalcman_2009_a.pdf תרגיל 2 ג הוכחתי שזה מתכנס בתנאי לפי דריכלה אבל אין לי רעיון עם מתכנס בהחלט...

זה לא מתכנס בהחלט. בלי הקוסינוס זה נכון לפי מבחן העיבוי, עם הקוסינוס ניתן להוכיח שקוסינוס בערך מוחלט גדול מקבוע מסויים לפחות כל פעם שנייה. הרי אם הוא קרוב לאפס, אחרי אחד הוא יתרחק ממנו. לכן זה גדול מקבוע כפול טור מתבדר ולכן מתבדר. --ארז שיינר
לא הבנתי כל כך איך אני מוכיח שזה מתכנס בתנאי...
מבחן דיריכליי, הוא רשום במפורט במערכי תרגול. אבל להבנתי אסור לכם להשתמש בזה במבחן, וכנראה לא יהיה תרגיל כזה במבחן. --ארז שיינר

לא הצלחתי לסווג את הנקודות קיצון

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a2e00a144.pdf שאלה 6 א את 0 הצלחתח בעזרת לופיטל אבל לא הצלחתי את PI/2+PK

מדובר בסוג שני. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי ב [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] אינו סופי. (אם הוא אינסופי או לא קיים בכל מקרה מדובר בסוג שני) וזה משליך גם על כל הנקודות האחרות. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי של המונה אינו סופי. (למה?) נניח בשלילה שהגבול סופי אזי בהכרח הגבול בין 1 למינוס 1 (נובע מערכי סינוס). נניח שהגבול הוא a. כעת ניתן להפעיל arcsin על שני האפים שהיא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (משתמשים כאן ברעיון של שאלה 2 מתרגיל 10) וכמו כן לזכור ש arcsinsin t=t ונקבל ש

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=arcsin a }[/math] אבל arcsin a הוא מספר סופי ומצד שני ידוע ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=\infty }[/math] וזו סתירה להנחה.--מני 01:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

מבחן נוסף...

http://www.studenteen.org/ חשבון אינפי 1 בחינות של שמואל קפלן קובץ 2 תרגיל 1 א

אפשר להוכיח באינדוקציה ש[math]\displaystyle{ 2^{n}\gt n^{3} }[/math] החל מn מסויים, מכאן תמשיך!

אופס קודם התבלבלתי תרגיל 1 ג

ניתן להיפטר מarcsin ע"י הצבת [math]\displaystyle{ x=sint }[/math] ואז מקבלים גבול כש [math]\displaystyle{ t }[/math] שואף לאפס

מקבלים גבול מהצורה של 1 בחזקת אינסוף. אותו אפשר לפתור ע"י הטלת ln (בסוף צריך להפעיל e בחזקת התוצאה הזו כדי לקבל את הגבול המקורי) אחרי השלב של הln פותרים בעזרת לופיטל. --מני 19:36, 8 באפריל 2012 (IDT)

אפשר רמז?

אם פונציה f 1.רציפה על [a,b] , 2. קיימת נגזרת סופית בקטע ..(למיטב הבנתי הנגזרת חסומה..) 3. הפונקציה לא לינארית..(במה בדיוק זה עוזר לי?) צ"ל שקיימת לפחות נק' אחת שבה הנגזרת יותר גדולה מהנגזרת בין a לb לפי לגראנג'..(כאילו

f(b) -f(a)/b-a< f'(c)
ברגע שהפונקציה לא ליניארית אז לא יתכן ש [math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

לכל x. כלומר בהכרח קיים [math]\displaystyle{ a\lt x\lt b }[/math] כך שבמקום שוויון יש אי שוויון. אם למשל [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גדול מאגף ימין אז ניתן להסתכל בביטוי [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} }[/math] ולהסיק ש... אם אי השוויון הוא בכיוון השני אז ניתן להתבונן ב [math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(x)}{b-x} }[/math] ולהסיק הדרוש. --מני 20:08, 8 באפריל 2012 (IDT)


תודה :-)

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים.

בהוכחת מבחן השורש לטורים חיוביים נעזרים במשפט עזר על אפייון הלימסופ, בו נאמר פחות או יותר- תהי סדרה כלשהי, אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים..כמו כן קיים ניסוח גם למקרה ההפוך. השאלה שלי היא, האם אין צורך לדרוש את הקיום הזה לכל סדרה חסומה?

לא. זו דוגמא טובה לתנאי שמתקיים באופן ריק. אם למשל הסדרה לא חסומה מלעיל אז הגרירה: "אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים.." היא בהכרח פסוק אמת כי הרישא היא שקרית (הלימסופ הוא אינסוף ולכן לא קיים מספר הגדול ממנו) ולכן לא משנה מה תוצאת הגרירה, הפסוק יהיה פסוק אמת. --מני 11:25, 9 באפריל 2012 (IDT)

שאלה למבחן

אפשר להשתמש בעובדה שהטור [math]\displaystyle{ \forall \alpha \in (-1,0]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha} }[/math] מתבדר

ושהטור [math]\displaystyle{ \forall \alpha \in (-\infty ,-1]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha} }[/math] מתכנס? או שצריך להוכיח כל פעם?

רק תיקון קל, הטור מתכנס אם [math]\displaystyle{ \alpha\lt -1 }[/math].
תיקנתי...
עקרונית כן, תשאל בזמן המבחן. אם אומרים שלא, אז תוכיח באמצעות מבחן העיבוי (קלי קלות) --ארז שיינר
קל לראות ש... - בודאי!
נו לאן הגענו ששואלים שאלה ועונים עליה עם מימי ?

תודה בכל מקרה ארז :-)

רציפות במש

x*logx היא רציפה במש? נראה לי שלא אבל לא הצלחתי למצוא סדרות שיפריכו לי

יש את הדוגמא הזו במערכי התרגול בנושא רציפות במ"ש. --מני 15:18, 10 באפריל 2012 (IDT)

האם סביר שיהיה שאלה על נקודות הצטברות במבחן?

ואם כן... מה עושים עם זה : תהי A קבוצת נקודות ממשיות. נקרא נקודה פנימית של A לנקודה a שייכת ל A עבורה יש סביבת אפסילון מוכלת(עבור אפסילון>0 כלשהו) המוכלת כולה ב- A. הוכיחו כי אם B היא קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, אזי הקבוצה המשלימה שלB (שהיא R/B ) אינה מכילה אף נקודת הצטברות שאינה נקודה פנימית של R/B .

אני בספק אם תהיה שאלה בנושא. אבל, בהנחה שנקודות הצטברות נלמדו בהרצאה אני מניח שהסיכוי הוא לא אפס. איך אפשר להוכיח? ניתן להוכיח אפילו יותר- שבתנאי השאלה R\B אינה מכילה אף נקודה שאינה נקודה פנימית של R\B (בלי קשר אם הנקודה היא נק' הצטברות). נניח בשלילה שקיימת נקודה x השייכת לR\B וגם שx אינה נק' פנימית של R\B.

x אינה נק' פנימית של R\B ולכן משלילת ההגדרה של נק' פנימית נקבל שכל סביבת אפסילון של x לא מוכלת ב R\B. זה שקול לכך שהחיתוך של כל סביבת אפסילון של x עם B אינו ריק. כמו כן מכיון שx שייכת ל R\B אז לכל אפסילון > 0 בחיתוך הנ"ל שאינו ריק קיימת נקודה השונה מx. לכן עפ"י ההגדרה (או אחת השקולות) x נקודת הצטברות של B אבל הקבוצה B מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, ומכאן x שייכת לB בסתירה לכך ש x שייכת לR\B.--מני 15:32, 10 באפריל 2012 (IDT)

רציפות במש ועוד שאלה...

להוכיח או להפריך שxcosx רציפה במש(אני די בטוח שזה הפרכה) ולהוכיח ש:הטור an מתכנס בהחלט אם ורק אם לכל סדרה bn המתכנסת ל0 הטור anbn מתכנס הצלחתי את הכיוון של אם an מתכנס בהחלט אבל לא הצלחתי את השני טנקס!!! וגם x*sin(1/sinx) למצוא נקודות אי רציפות:מצאתי שx=pi*k זה נקודות האי רציפות ומצאתי ש0 זה נקודת אי רציות סליקה אבל בקשר לשאר הנקודות אני לא יודע


לגבי [math]\displaystyle{ xcosx }[/math] אתה בוחר שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_n , y_n }[/math] כך שהפרשן מתכנס ל-0, אבל [math]\displaystyle{ f(x_n)-f(y_n) }[/math] לא מתכנס ל-0.

לגבי הנקודות אי רציפות אני מזכיר שאם אחד הגבולות החד צדדים הוא אינסוף, זה נקודת אי רציפות מהסוג השני. אם שני הגבולות החד צדדיים שווים, אבל בנקודה הזאת הפוקנציה לא מוגדרת, זה נקודת אי רציפות סליקה.

לגבי הטורים: מניחים שלכל סדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שמתכנסת ל-0 הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n b_n }[/math] מתכנס, ואז אתה בוחר בחכמה את הסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] בצורה כזו שאתה מגיע ישירות מהטור [math]\displaystyle{ \sum a_n b_n }[/math] לטור [math]\displaystyle{ \sum |a_n| }[/math] . מקווה שעזרתי :-) אפשר כאילו עזרה יותר ממה שברור מאליו? אני ניסיתי איזה שעה ומשהו את זה ולא הצלחתי..

יש תשובות לכל השאלות האלה במערכי התרגול ובפתרונות תרגיל הבית מהשנה ומשנה שעברה. לגבי השאלה האחרונה, מחשבים גבולות חד צדדיים בעזרת לופיטל --ארז שיינר

מועד א' מדמ"ח שאלה 4 א'

בפתרון רשמתם ש: כיוון שגבולותיה של הנגזרת באפס ובאינסוף סופיים והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע.

לכן לפי משפט הפונקציה f רציפה במ"ש בקטע.

עכשיו לא לגמרי ברור לי למה הגבול באפס של הנגזרת סופי..כאילו הקוסינוס של [math]\displaystyle{ 1/x }[/math] יכול להיות כמעט כל דבר כש הx שואף לאפס..

את צודקת, הניסוח שגוי. הנגזרת היא סכום של שתי פונקציות. הקוסינוס חסומה ולפונקציה השנייה גבולות סופיים ולכן חסומה. סכום חסומות היא חסומה --ארז שיינר

מבחן דמה למתמטיקאים...

בקשר ל4 ב כאילו צריך שהנגזרת של הרציונלים תהיה שווה לנגזרת של האי רציונלים וגם שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה? 5א אפשר רמז?

לגבי 4ב - כן. לגבי 5א - איזה אי רציפות יש לפונקציה? תחשוב על פונקציה כזו לדוגמא ותראה מה קורה בה, ואולי תבין... --ארז שיינר
הבנתי שהנקודת אי רציפות הינה מסוג שני שהגבול אינו מוגדר(כאילו לא אינסוף) אבל מה הלאה? נראה לי משהו ברציפות במש כאילו הוכחתי שהנגזרת לא יכולה להיות חסומה מלעיל וגם מלרע אבל לא רק להוכיח שהיא לא יכולה להיות רק מלרע/מלעיל
אם הפונקציה קופצת בין שני גבהים שונים היא צריכה גם לעלות וגם לרדת. --ארז שיינר
אז? כאילו אין לי שום רעיון עם זה... כאילו נגזרת חיובית ושלילית?
הנקודות בציר x מתקרבות, ובציר y מתרחקות, מה זה אומר על השיפוע? --ארז שיינר

אולי תעלה את התשובה באופן מסודר אני בחיים לא אצליח את זה וגם מלא לא מצליחים את זה...(כאילו עד עכשיו אף אחד לא פתר לי את זה)

בקשר למבחן דמה השני שאלה 5

f(x)=0 זה הרכה על א לא? כי הנגזרת היא 0 ומונוטנית וגם הפונקציה מונוטנית

נכון--ארז שיינר

שאלה לגבי המבחן

האם יהיה במבחן שאלה של גזירת פונקציות כמו שהיו במבחנים של פרופ זלצמן?

לדוגמא: גזור את הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{\arctan (e^{sin(x)})}{(log(x))^2} }[/math]

לא בטוח שבאופן ישיר, אבל צריך לדעת לגזור כחלק מלופיטל וכדומה --ארז שיינר

יש נגזרת כללית בטור טיילור במבחן?ואם כן אפשר לדעת אותה?

טנקס

תרגיל מת"א

איך פותרים את 8א מתרגיל 4?

שאלה לא סטנדרטית

אני מעוניין לפרמל ולהוכיח את הטענה שככל שנסתכל על טווח גדול יותר, הפונקציה [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{N}sin^2(k) }[/math] תהיה קרובה יותר לישר [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}x }[/math].

דא עקא, אין לי קצה חוט.

(בהשראת שאלה משימושי מחשב - בדקתי עד [math]\displaystyle{ 10^6 }[/math], הטענה נכונה.)

בקשר למועד ג

האם אפשר לשאול עדיין שאלות פה? האם הפורום פועל עד למועד ג?

תודה

כן

ענו פה כן באנונימיות האם זה כן של אחד המתרגלים?

כן


שאלה כללית על הטור סיגמא 1/n

הרי ההגדרה להתכנסות של טור היא ש אם s1...sn שואפים ל-L כלומר קיים גבול סופי לסדרת הסכומים החלקיים אז הטור מתכנס ובקשר ל 1/n

זה נראה s1=1/1 s2=1/1+1/2 s3=1/1+1/2+1/3

וזה נותן הרגשה שיש התכנסות כי התוספת הולך ונהיית קטנה יותר עכשיו זה דוגמא למקרה שאני רוצה לבדוק בעזרת האינטאויציה אם טור מתבדר/מתכנס אז למקרים דומים זה אומר שפשוט לא להסתמך על האינטואיציה?

תודה

האינטואיציה שאתה מתאר היא שטורם מתכנס אם ורק אם הסדרה שלו שואפת לאפס. זה לא נכון כמו בדוגמא שהזכרת, כי הסדרה אינו יורדת מספיק מהר/חד/תלולה לאפס --ארז שיינר

האם יש פירוק יפה לביטוי

1-sqrt3(x) במילים אחד פחות שורש שלישי של איקס תודה


תנסה להתייחס לזה כאל1/3^(x-1)ואז תנסה להמשיך עם הנוסחא a^3-b^3=(a-b)*(a^2+b^2+ab בהצלחה!

קצת סדר בנוגע לגבולות עליונים

תהיינה [math]\displaystyle{ \left \{ a_n \right \},\left \{ b_n \right \} }[/math] סדרות. האם תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_nb_n=\overline{\lim }a_n \; \overline{\lim }b_n }[/math] , כשהגבולות הנ"ל קיימים?

לא בהכרח. קח [math]\displaystyle{ a_n=0; b_n=1 }[/math] לכל n זוגי ו-[math]\displaystyle{ a_n=1; b_n=0 }[/math] לכל n אי זוגי. המכפלה היא סדרה שקבועה על אפס, לכן הגבול העליון שלה הוא 0, בעוד שעבור כל אחת מהסדרות המקוריות הגבול העליון הוא 1. גל.
אבל זה נכון אם אחת מהסדרות מתכנסת

הרבה סדר בנוגע לגבולות עליונים

איך מוכיחים את טענת אופיר?

יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון, וכל תת סדרה של נסדרה השנייה מתכנסת לגבול. אז המכפלה ביניהם שווה למכפלה בין הגבול (שהוא גם הגבול העליון) של הסדרה המתכנסת לבין הגבול העליון

קבוע בחזקת משהו ששואף ל0

האם אפשר להגיד מיד שהביטוי הנ"ל שואף תמיד ל1?

כן, כי זו פונקציה רציפה --ארז שיינר

גבול של פונקציית הערך השלם

היה בבתרגיל 9 למתמטיקאים למצוא את הגבול של פונקציית הערך השלם של 1/x * כפול x(רגיל) ובפתרון שלכם זה נפתר בעזרת גבולות חד צדדיים בספר של קון השאלה הזו מופיעה לפני הפרק של גבולות חד צדדים ז"א שניתן לפתור את זה בשיטה אחרת קדומה יותר בחומר..?

תודה ונ.ב האם אפשר להעלות לכאן תרגילים חיצוניים שלא הצלחתי?


אפשר להוכיח לפי ההגדרה הרגילה, ואפשר להעלות תרגילים ממקומות אחרים. --ארז שיינר

טיפול בסיסי בגבולות

תהי f פונ' ותהי a נקודה כך ש- [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}f(x) }[/math] קיים. תהי g חח"ע.

איך מוכיחים (או מפריכים, מה שנראה לי לא סביר) שגם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow g(a)}f(g^{-1}(x)) }[/math] קיים, והם שווים? ההגדרה לא מביאה אותי לכלום.

g רציפה? כי אם לא זה בוודאי ממש לא נכון. אם היא כן רציפה, החח"ע גוררת מונוטוניות לפי תכונת ערך הביניים, ואז זה בטח לא קשה להוכיח --ארז שיינר
איך המונוטוניות של g ושל ההופכית שלה עוזרת?

פולינום טיילור

נתקלתי היום בתרגיל למצוא פולינום אשר מקרב אותי לפונקציה שורש e עכשיו אנו יודעים שצריך לפתח סביב נקודה נוחה כלומר במקרה שלנו לקחנו את הפונקציה שורש x ונקודה נוחה נראית כביכול 1 או 4 אבל זה בלתי אפשרי כמעט היה לפתור עם אחד מאלה ולכן בחרתי את הנקודה 2 שהיא פחות נוחה לחישוב אבל פותרת יותר מהר, והשאלה שלי האם זה לגיטימי שעבור מספרים נוחים לחישוב אני לא יצליח לפתח ועבור מספרים פחות נוחים (אלא אם שורש 2 נחשב נוח) אצליח לפתח?

תודה

בקשר לשאלה מהמבחן של מועד א השאלה על פולינום טיילור

איך הגעת ש i=3 בטווח של x בין 0 ל-1 האם אפשר פירוט?

לי יצא 4 יש מצב שיש שם טעות?

בכל אופן אם אפשר לקבל פירוט של איך הגעת לזה זה מאוד יעזור

תודה

סכום סדרה הנדסית

השאלה שלי באה לידי ביטוי בהבדל בין התשובות של שאלה 3 א' בקישור: http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/פתרון_מועד_א_מתמטיקאים לבין שאלה 3 בקישור: http://math-wiki.com/images/c/c4/10Infi1Targil6.pdf

הבנתי את זה ככה:

סכום סדרה הנדסית: אם נתון לי שהטור מתכנס ומה שמתבטא בניסוח "חשבו מה הגבול" (כמו בקישור השני) מותר לי להשתמש אוטומטית בנוסחה: a1/1-q בעצם כי ידוע ש q<1 וכאשר אני נשאלת (כמו לדוג' במבחן ממועד א'-קישור ראשון) האם הטור בכלל מתכנס וה-n הרי כל הזמן משתנה. באיזה נוסחא עלי להשתמש? ומדוע?

אני לא בטוח מה הכוונה בשאלה. כאשר הטור הוא טור הנדסי, כלומר קבוע בחזקת n, בודקים אם הקבוע קטן מאחד או לא (כפי שאמרת). אם הטור אינו הנדסי, משתמשים במבחני התכנסות אחרים... למה צריך להיות קשר בין השניים? --ארז שיינר
  • במה השתמשת בפתרון של מועד א' שאלה 3 סעיף א'?

בקשר לבזיליקום

ארז אתה יודע אולי אם אני מכין מקרונים אני אמור לשים את הבזיליקום בזמן הבישול של המקרונים עם המים או אחרי פשוט לפזר? תודה