הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/משפט קושי"
מתוך Math-Wiki
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==משפט ערך הביניים המוכלל== | ==משפט ערך הביניים המוכלל== | ||
+ | יהיו <math>f(x),g(x)</math> פונקציות רציפות בקטע <math>[a,b]</math> וגזירות בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> . | ||
− | + | אם <math>g(x)\ne 0</math> שמה אזי קיים <math>c\in(a,b)</math> כך ש- <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math> . | |
− | + | ||
− | + | ||
− | אם <math>g(x)\ | + | |
− | שמה אזי קיים <math> | + | |
− | כך ש <math>\frac{f( | + | |
− | תרגיל: הוכח כי לכל <math>x,y\in[0,\frac{\pi}{3}]</math> | + | '''תרגיל:''' הוכח כי לכל <math>x,y\in[0,\frac{\pi}{3}]</math> |
− | מתקיים <math>|tan(x)-tan(y)|\ | + | מתקיים <math>\Big|\tan(x)-\tan(y)\Big|\le 8\Big|\sin(x)-\sin(y)\Big|</math> |
− | פתרון: נגדיר <math>f(x)=tan(x) | + | '''פתרון:''' נגדיר <math>f(x)=\tan(x)\ ,\ g(x)=\sin(x)</math> . |
− | + | ||
− | + | ||
− | מתקיים <math>|\frac{f'(c)}{g'(c)}|=|\frac{\frac{1}{cos^ | + | לפי משפט ע"ב המוכלל <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math> כאשר <math>x<c<y</math> |
+ | |||
+ | מתקיים <math>\left|\frac{f'(c)}{g'(c)}\right|=\left|\frac{\frac{1}{\cos^2(c)}}{\cos(c)}\right|=\left|\frac{1}{\cos^3(c)}\right|\le\left|\frac{1}{\cos^3\left(\frac{\pi}{3}\right)}\right|=8</math> |
גרסה אחרונה מ־11:51, 7 ביוני 2016
משפט ערך הביניים המוכלל
יהיו פונקציות רציפות בקטע וגזירות בקטע הפתוח .
אם שמה אזי קיים כך ש- .
תרגיל: הוכח כי לכל
מתקיים
פתרון: נגדיר .
לפי משפט ע"ב המוכלל כאשר
מתקיים