הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3"
מ |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]] | [[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]] | ||
− | ידוע שמטריצות דומות | + | ידוע שמטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של בלוקי ז'ורדן: |
− | + | <math> | |
− | + | A=\begin{pmatrix} | |
− | + | ||
− | + | ||
0 & 1 &0 & 0\\ | 0 & 1 &0 & 0\\ | ||
0& 0 &0 &0 \\ | 0& 0 &0 &0 \\ | ||
0 & 0 & 0&1 \\ | 0 & 0 & 0&1 \\ | ||
0& 0 &0 &0 \\ | 0& 0 &0 &0 \\ | ||
− | \end{pmatrix} | + | \end{pmatrix} = \left( |
− | + | \begin{array}{cc} | |
− | + | \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} & \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} \\ | |
− | + | \\ | |
− | + | \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} & \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} | |
− | + | \end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_2(0) & 0 \\ 0 & J_2(0)\end{pmatrix} = J_2(0) \oplus J_2(0), | |
− | + | </math> | |
− | + | ||
− | 0 & 0 | + | |
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | 0 &1 | + | |
− | + | ||
− | 0 & 0 | + | |
− | 0 & 0 | + | |
− | \end{pmatrix} | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | ואילו | ||
<math>B=\begin{pmatrix} | <math>B=\begin{pmatrix} | ||
0 & 1 &0 & 0\\ | 0 & 1 &0 & 0\\ | ||
שורה 50: | שורה 23: | ||
0 & 0 & 0&0 \\ | 0 & 0 & 0&0 \\ | ||
0& 0 &0 &0 \\ | 0& 0 &0 &0 \\ | ||
− | \end{pmatrix} | + | \end{pmatrix} |
− | + | = \left( | |
− | + | \begin{array}{cc} | |
− | + | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array} & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \\ | |
− | + | \\ | |
− | + | \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \end{array} & 0 | |
− | + | \end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_3(0) & 0 \\ 0 & J_1(0)\end{pmatrix} = J_3(0) \oplus J_1(0), | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | 0 & 1 | + | |
− | + | ||
− | 0 & | + | |
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | 0 | + | |
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | 0 | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | 0 | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{pmatrix}= | + | |
</math> | </math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן '''אינן דומות.''' | קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן '''אינן דומות.''' | ||
− | + | נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש-<math>\ A^2 = 0</math> בעוד ש-<math>\ B^2 \neq 0</math>. לכן הן אינן יכולות להיות דומות. | |
− | + | ||
---- | ---- |
גרסה אחרונה מ־23:46, 8 בינואר 2012
ידוע שמטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של בלוקי ז'ורדן:
ואילו
קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן אינן דומות.
נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש- בעוד ש-. לכן הן אינן יכולות להיות דומות.
סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים , כאשר המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A ()
ולכן .
ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2.
כמו כן שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב לעצמו.
לכן בסה"כ .
באופן דומה עבור , מתקיים , ולכן .
ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2.
כמו כן שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב לעצמו.
לכן בסה"כ .
(ידוע ש-A היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה המוגדרת בעזרתה וכו' - כל זה מלינארית 1, אין צורך לפרט)
לסיכום, קיבלנו . מש"ל!