הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לדוגמאות *<math>\sum\f...") |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
*<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math> | *<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נשים לב כי '''שני שליש''' מאיברי המכפלה <math>1\cdot 2\cdot 3 \cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math>. נובע מכך כי: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>(n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | ::<math>\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}</math> | ||
+ | |||
+ | אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי '''מבחן ההשוואה הגבולי''') | ||
+ | |||
+ | ::<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>\sum\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}</math> (ידוע כי טור זה מתכנס) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | וביחד הטור '''מתכנס''' לפי '''מבחן ההשוואה הראשון'''. |
גרסה מ־21:11, 4 בינואר 2012
נשים לב כי שני שליש מאיברי המכפלה גדולים מהמספר . נובע מכך כי:
ולכן
אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)
- (ידוע כי טור זה מתכנס)
וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.