הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"
מתוך Math-Wiki
שורה 4: | שורה 4: | ||
− | נשים לב כי '''שני | + | נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאיברי המכפלה <math>1\cdot 2\cdot 3 \cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math>. |
+ | |||
+ | נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש | ||
+ | |||
+ | <math>n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor | ||
+ | *(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n \geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math> | ||
+ | |||
+ | (נניח <math>n>2</math>, קל לבדוק את <math>n=1,2</math>) | ||
+ | |||
+ | נעלה בריבוע ונקבל ש- | ||
::<math>(n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}</math> | ::<math>(n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}</math> |
גרסה מ־13:08, 22 בפברואר 2012
נשים לב כי לפחות שני שלישים מאיברי המכפלה גדולים מהמספר .
נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ, ומכיוון שיש לפחות כאלה נקבל ש
(נניח , קל לבדוק את )
נעלה בריבוע ונקבל ש-
ולכן
אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)
- (ידוע כי טור זה מתכנס)
וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.