הבדלים בין גרסאות בדף "89-214 סמסטר א' תשעה"
חיים רוזנר (שיחה | תרומות) |
חיים רוזנר (שיחה | תרומות) (←השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}</math>. על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>. | כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}</math>. על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>. | ||
− | ברור ש-<math>H\subseteq G</math>, ולפי שויון עוצמות סופיות, <math>H=G</math>. לכן כל איבר ב-<math>G</math> ניתן לרשום בתור <math>a^ib^j</math>. נבדוק האם <math>b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b</math>. | + | ברור ש-<math>H\subseteq G</math>, ולפי שויון עוצמות סופיות, <math>H=G</math>. לכן כל איבר ב-<math>G</math> ניתן לרשום בתור <math>a^ib^j</math>. '''(עד כאן היה בשיעור.)''' נבדוק האם <math>b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b</math>. |
ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>. | ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>. |
גרסה מ־13:01, 19 בינואר 2015
הודעות כלליות
ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!
לקבוצה של שירה: יתכן והתרגול של 07/01 יתבטל. נא להתעדכן!
השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')
תרגיל. תהי חבורה מסדר
(
ראשוני). הראו כי
.
פתרון. נניח בשלילה כי . מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים
שיקיים
. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר
. ננסה להראות כי
הזה מתחלף עם כל איברי
, ולכן
, ובסתירה לבחירת
.
ראשית, נשים לב לכך שהסדר של הוא
; אילו הסדר היה
אז
היה יוצר של כל
, ואילו הסדר היה
אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של
גם הוא
, באופן ברור.
כעת, נביט בקבוצה . נראה כי
היא קבוצה מעוצמה
: נניח כי קיימים
עבורם
. על ידי בידוד איברים, נקבל
, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים
, ובסתירה להנחה
. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת
היא
.
ברור ש-, ולפי שויון עוצמות סופיות,
. לכן כל איבר ב-
ניתן לרשום בתור
. (עד כאן היה בשיעור.) נבדוק האם
.
ראשית, נזכיר כי , כי
. לכן
. נחזור על הטיעון
פעמים, ונקבל
. כמו כן, ברור כי
. ביחד, נקבל
, כנדרש. מצאנו אפוא כי
, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את
.
תרגיל. תהי חבורה מסדר
(
ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.
פתרון. לפי התרגיל הקודם, . לפי נוסחת המחלקות,
(הראנו בכיתה). לפי לגרנז',
, וביחד נקבל
. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות,
, ו-
אבלית.