הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 6 תשעז"
(←פתרון) |
(←פתרון) |
||
שורה 70: | שורה 70: | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | א. הוכחה: <math>X\in P(A)\cap P(B) \iff X\subseteq A\land X\subseteq B\iff | + | א. הוכחה: <math>X\in P(A)\cap P(B) \iff X\subseteq A\land X\subseteq B\iff</math> |
− | ב. הפרכה: ניקח <math>A=\{1\},B=\{2\}</math>. | + | <math>X\subseteq A\cap B\iff X\in P(A\cap B)</math> |
+ | |||
+ | ב. הפרכה: ניקח <math>A=\{1\},B=\{2\}</math>. אז <math>\{1,2\} \in P(A\cup B)</math>, אבל לא ל-<math>P(A)\cup P(B)</math>. | ||
+ | |||
+ | למעשה הוכיחו כי <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math> אם ורק אם <math>A\subseteq B</math> או <math>B\subseteq A</math>. | ||
===תרגיל ממבחן=== | ===תרגיל ממבחן=== |
גרסה מ־19:28, 25 בנובמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
המשך קבוצות
משלים
הגדרה: תהי קבוצה , ונביט בתת קבוצה שלה . ניתן להגדיר את המשלים של כאוסף האיברים ב- שאינם ב- (כלומר ההפרש ), המסומן . לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):
הערה: באופן כללי מתקיים
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
ומחילופיות "וגם" ו"או":
תרגיל
לכל נגדיר ונגדיר .
א. מצאו את
ב. נגדיר . מצאו את .
פתרון
א. התשובה: . הוכחה:
: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-.
: יהי נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-. לכן אם זוגי הוא נמצא ב- ואם אי-זוגי אז .
ב. נתייחס ל- כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:.
קבוצת החזקה
הגדרה: תהי קבוצה . נגדיר את קבוצת החזקה של בתור אוסף כל תת הקבוצות של . נסמן .
דוגמה: נבחר אזי .
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
תרגיל
הוכיחו או הפריכו:
א.
ב.
פתרון
א. הוכחה:
ב. הפרכה: ניקח . אז , אבל לא ל-.
למעשה הוכיחו כי אם ורק אם או .
תרגיל ממבחן
תהינה קבוצות. הוכיחו או הפריכו:
א. אם אזי
ב. אם אזי
ג. אם אזי
פתרון
א. הפרכה: . אזי ברור ש- איננה מוכלת בחיתוך אבל .
ב. נתון שלכל מתקיים . אזי
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון ניתן להסיק בקלות ש-, כפי שרצינו.
דרך נוספת: נגדיר את להיות הקבוצה האוניברסאלית ואז צריך להוכיח כי וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה השייכת לחיתוך . קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן . מכיוון ש- אינה ריקה קיים בה איבר וקל לראות ש- ולכן מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.