89-214 סמסטר א' תשעה
הודעות כלליות
ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!
לקבוצה של שירה: יתכן והתרגול של 07/01 יתבטל. נא להתעדכן!
השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')
תרגיל. תהי חבורה מסדר
(
ראשוני). הראו כי
.
פתרון. נניח בשלילה כי . מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים
שיקיים
. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר
. ננסה להראות כי
הזה מתחלף עם כל איברי
, ולכן
, ובסתירה לבחירת
.
ראשית, נשים לב לכך שהסדר של הוא
; אילו הסדר היה
אז
היה יוצר של כל
, ואילו הסדר היה
אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של
גם הוא
, באופן ברור.
כעת, נביט בקבוצה . נראה כי
היא קבוצה מעוצמה
: נניח כי קיימים
עבורם
. על ידי בידוד איברים, נקבל
, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים
, ובסתירה להנחה
. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת
היא
.
ברור ש-, ולפי שויון עוצמות סופיות,
. לכן כל איבר ב-
ניתן לרשום בתור
. נבדוק האם
.
ראשית, נזכיר כי , כי
. לכן
. נחזור על הטיעון
פעמים, ונקבל
. כמו כן, ברור כי
. ביחד, נקבל
, כנדרש. מצאנו אפוא כי
, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את
.
תרגיל. תהי חבורה מסדר
(
ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.
פתרון. לפי התרגיל הקודם, . לפי נוסחת המחלקות,
(הראנו בכיתה). לפי לגרנז',
, וביחד נקבל
. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות,
, ו-
אבלית.