מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/30.7.12
מתוך Math-Wiki
מיכאל קונטרונוביץ, michako (@) walla.co.il
דוגמה 1
- זהו משתנה תלוי, משתנה בלתי תלוי, סדר ומעלה עבור .
- האם מהווה פתרון לכל ?
פתרון
- הוא המשתנה התלוי, בלתי תלוי, הסדר הוא 1 והמעלה – 1. זו משוואה לינארית.
- גזירה כמכפלה, סכום והרכבה של פונקציות גזירות. לפי המשפט היסודי של החדו״א ולכן . אם נציב זאת במד״ר המקורית נגלה ש־ היא אכן פתרון.
דוגמה 2
- פתרו את המד״ר .
- בהינתן תנאי התחלה , האם יש פתרון יחיד? אם כן, מהו ומה תחום הגדרתו?
- פתרו את סעיף 2 עבור תנאי ההתחלה .
פתרון
- ננסה להפריד את המשתנים:
עתה נתייחס למקרה : נציב במד״ר ונקבל , לכן זהו אכן פתרון.
- ניעזר במשפט הקיום והיחידות לבעיית התחלה מסדר 1 (אנו נציג גרסה כללית יותר מזו שהוצגה בהרצאה, שמדברת על פונקציות רציפות ולאו דווקא ליפשיץ): נתון ש־ ו־. אם קיימת סביבה פתוחה של שבה רציפות אזי יש קטע מקביל לציר המוכל ב־, כך שלכל יש לבעיה פתרון יחיד. הערה: המשפט הוא תנאי מספיק ולא הכרחי לקיום יחידות.
בחזרה לתרגיל, נגדיר . אזי פונקציה רציונלית ולכן רציפה כל עוד המכנה שונה מ־0, כלומר . כנ״ל עבור נגזרתה. לכן נרצה מלבן פתוח סביב נקודת ההתחלה, שאינו נוגע בצירים, למשל . לכן מתקיימים תנאי משפט הקיום והיחידות ולפיכך יש לבעיה פתרון יחיד.
אם נפתור: הסינגולריות לא מקיימת את תנאי ההתחלה. נציב בפתרון הכללי ונקבל ולכן . תחום ההגדרה של הוא . - עבור תנאי משפט הקיום והיחידות אינם מתקיימים. אין אף פתרון לבעיית ההתחלה הנ״ל – ניתן לוודא זאת בבדיקה ישירה.
דוגמה 3
פתרו את המשוואה .
פתרון
אינו פתרון כיוון שנובע ממנו ש־, בסתירה. נשים לב ש־ מרכזי ובלעדי במשוואה, לכן נסמנו כ־ ונקבל . מפני ש־ מתקיים ולכן נחלק ב־. נקבל לכן (נניח ש־) מתקיים . לבסוף . נבדוק את בנפרד ונגלה שהוא אכן פתרון סינגולרי.
דוגמה 4
פתרו את בעיית ההתחלה .
פתרון
הערה: פונקציה נקראת הומוגנית חיובית מסדר אם לכל ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \dom לא מוכרת): (x,y)\dom(g)
מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \g לא מוכרת): \g(\lambda x,\lambda y)=\lambda^kg(x,y)
.
כאן ו־ הומוגניות מסדר 2 ולכן המד״ר הומוגנית. במקרה נביאה לצורה . נציב ואז . הפתרון הכללי הוא , ומתנאי ההתחלה נובע ש־ עבור .