הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "michael.michaeli (@) gmail.com ---- ''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מר...")
 
שורה 1: שורה 1:
 
michael.michaeli (@) gmail.com
 
michael.michaeli (@) gmail.com
 +
 +
ספר מומלץ: "טורי פורייה והתמרות אינטגרליות", זעפרני ואלון פינקוס.
 +
 +
אתר הקורס: http://www.math.biu.ac.il/~michelm2, Fourie Analasis (88-235‎)
  
 
----
 
----
  
−
''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון <math>F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)</math>), מכפלה פנימית (כגון <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx</math> ב־<math>C[a,b]</math>), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)&rlm; (<math>|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|</math>), מרחבי הסדרות <math>\ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\}</math> עם <math>\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i}</math>, אורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים החדשים והקשים לזכירה:
+
''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון <math>F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)</math>), מכפלה פנימית (כגון <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx</math> ב־<math>C[a,b]</math>), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)&rlm; (<math>|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|</math>), מרחבי הסדרות <math>\ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\}</math> עם <math>\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i}</math> ואורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים הקשים לזכירה והחדשים:
  
 
== אי־שיוויון הולדר (Holder) ==
 
== אי־שיוויון הולדר (Holder) ==
שורה 9: שורה 13:
  
 
=== הוכחה ===
 
=== הוכחה ===
−
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):&rlm; <math>\forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q</math>. נבחר עבור <math>n</math> כרצוננו <math>\alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}</math>, ונסכום לכל <math>n</math>: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1</math>. נכפול ב־<math>\|x\|_p\|y\|_q</math>
+
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):&rlm; <math>\forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q</math>. נבחר עבור <math>n</math> כרצוננו <math>\alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}</math>, ונסכום לכל <math>n</math>: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1</math>. נכפול ב־<math>\|x\|_p\|y\|_q</math> ונקבל את הדרוש. {{משל}}
 +
 
 +
== קירוב לווקטור ==
 +
נניח ש־<math>V</math> מרחב לינארי, <math>W</math> תת־מרחב ו־<math>\mathbf u\in V\setminus W</math>. נרצה להראות שקיים וקטור יחיד <math>\tilde\mathbf u\in W</math> שהוא קירוב ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W</math>, כלומר שעבורו <math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>.
 +
 
 +
=== מובן של מציאת קירוב ===
 +
הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W=\mbox{span}(\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\})</math> הוא <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>.
 +
 
 +
==== טענת עזר ====
 +
יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> קבוצה אורתונורמלית ב־<math>V</math>. אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>.
 +
 
 +
===== הוכחה =====
 +
{{left|<math>\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,\mathbf e_k\right\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_k</math>}}{{משל}}
 +
 
 +
{{המשך סיכום|תאריך=31.7.12}}
 +
 
 +
==== הוכחה ====
 +
'''הגדרה:''' <math>c_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math> נקרא ''"מקדם פורייה"''.
 +
 
 +
צריך להוכיח ש־<math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>. אזי יהי <math>\mathbf v\in W</math> ונסמן <math>\mathbf v=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math>. לכן
 +
{|
 +
{{=|l=\left\Vert\mathbf u-\mathbf v\right\Vert^2 |r=\langle\mathbf u-\mathbf v,\mathbf u-\mathbf v\rangle }}
 +
{{=|r=\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle-\left\langle\mathbf u,\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k\right\rangle-\left\langle\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k,\mathbf u\right\rangle+\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle }}
 +
{{=|r=\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\Big(\overline{a_k}c_k+a_k\overline{c_k}\Big)+\sum_{k=1}^n\vert a_k\vert^2 }}
 +
{{=|r=\Vert\mathbf u\Vert^2+\sum_{k=1}^n\vert c_k-a_k\vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2 |c=מתקיים<br><math>\begin{array}{l}|c_k-a_k|^2-|c_k|^2=\\=(c_k-a_k)(\overline{c_k}-\overline{a_k})-|c_k|^2=\\=|a_k|^2-\overline{a_k}c_k-a_k\overline{c_k}\end{array}</math>}}
 +
{{=|o=\ge |r=\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2 |c=המקרה המינימלי הוא כאשר <math>\forall k:\ a_k=c_k</math>}}
 +
|}
 +
מכאן ש־<math>\|\mathbf u-\mathbf v\|</math> מינימלי כאשר <math>\mathbf v=\tilde\mathbf u</math>. {{משל}} התוצאה נותנת לנו גם את אי־שיוויון בסל: <math>\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|c_k|^2</math>.
 +
 
 +
{{פס|
 +
==== הכללה ====
 +
בהינתן בסיס אורתוגונלי <math>S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> של <math>W</math> (שאינו בהכרח אורתונורמלי) ניתן להכליל את הנוסחה הנ״ל ל־<math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k</math>.
  
−
== תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt) ==
+
===== הוכחה =====
−
התהליך מאשר להפוך כל קבוצה <math>B=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}</math> בת״ל לקבוצה <math>\tilde B=\{\tilde\mathbf v_1,\dots,\tilde\mathbf v_n\}</math> אורתונורמלית כך ש־<math>\mbox{span}(B)=\mbox{span}(\tilde B)</math>.
+
<math>S</math> בסיס ולכן וקטור האפס אינו נמצא בו. לפיכך הקבוצה <math>\left\{\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|},\dots,\frac{\mathbf b_n}{\|\mathbf b_n\|}\right\}</math> מוגדרת ואורתונורמלית, ולבסוף {{left|<math>\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k=\sum_{k=1}^n\frac{\overline{\|\mathbf b_k\|}\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle}{\|\mathbf b_k\|^2}\|\mathbf b_k\|\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\sum_{k=1}^n\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\tilde\mathbf u</math>}}
 +
{{משל}}
 +
}}
  
−
'''טענת עזר:''' יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> קבוצה אורתונורמלית ב־<math>V</math>. אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>. '''הוכחה:''' <math>\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_i</math>
+
=== תרגיל ===
 +
נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע <math>[-1,1]</math>. נגדיר מ״פ באופן הבא: <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math>. מצאו קירוב ל־<math>f(x)=x^3</math> בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית <math>S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}</math>.
  
−
אם נגדיר <math>W=\mbox{span}(S)</math> תת־מרחב של <math>V</math> ואם <math>\mathbf u\in V\setminus W</math> אזי ברור ש־<math>\mathbf u\ne\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>. במקרה זה קיים איבר אחר <math>\tilde\mathbf u</math> שהוא הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W</math> (כלומר, <math>\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math> מינימלי), ומתקיים <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>. '''דוגמה:''' נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע <math>[-1,1]</math>. נגדיר מ״פ באופן הבא: <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math>. נמצא קירוב ל־<math>f(x)=x^3</math> בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית <math>S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}</math>. מתקיים:{{left|<math>\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}</math>}}
+
==== פתרון ====
−
ולפיכך <math>\left\|x^3-\frac35x\right\|</math> מינימלי.
+
מתקיים:{{left|<math>\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=0\cdot\mathbf e_1+\frac\sqrt65\mathbf e_2=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}</math>}}
 +
ולפיכך <math>\left\|x^3-\frac35x\right\|</math> מינימלי בקטע. {{משל}}

גרסה מ־16:27, 31 ביולי 2012

michael.michaeli (@) gmail.com

ספר מומלץ: "טורי פורייה והתמרות אינטגרליות", זעפרני ואלון פינקוס.

אתר הקורס: http://www.math.biu.ac.il/~michelm2, Fourie Analasis (88-235‎)

הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)), מכפלה פנימית (כגון \langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx ב־C[a,b]), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)‏ (|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|), מרחבי הסדרות \ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\} עם \langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i} ואורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים הקשים לזכירה והחדשים:

אי־שיוויון הולדר (Holder)

אם x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q כאשר \frac1p+\frac1q=1 (כלומר, \ell_p,\ell_q צמודים) אזי \sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q.

הוכחה

נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):‏ \forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q. נבחר עבור n כרצוננו \alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}, ונסכום לכל n: \sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1. נכפול ב־\|x\|_p\|y\|_q ונקבל את הדרוש. \blacksquare

קירוב לווקטור

נניח ש־V מרחב לינארי, W תת־מרחב ו־\mathbf u\in V\setminus W. נרצה להראות שקיים וקטור יחיד \tilde\mathbf u\in W שהוא קירוב ל־\mathbf u ב־W, כלומר שעבורו \min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|.

מובן של מציאת קירוב

הקירוב הטוב ביותר ל־\mathbf u ב־W=\mbox{span}(\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}) הוא \tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k.

טענת עזר

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} קבוצה אורתונורמלית ב־V. אם \mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k אזי \forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle.

הוכחה
\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,\mathbf e_k\right\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_k
\blacksquare

את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:

הוכחה

הגדרה: c_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle נקרא "מקדם פורייה".

צריך להוכיח ש־\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|. אזי יהי \mathbf v\in W ונסמן \mathbf v=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k. לכן

\langle\mathbf u-\mathbf v,\mathbf u-\mathbf v\rangle = \left\Vert\mathbf u-\mathbf v\right\Vert^2
\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle-\left\langle\mathbf u,\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k\right\rangle-\left\langle\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k,\mathbf u\right\rangle+\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle =
\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\Big(\overline{a_k}c_k+a_k\overline{c_k}\Big)+\sum_{k=1}^n\vert a_k\vert^2 =
מתקיים
\begin{array}{l}|c_k-a_k|^2-|c_k|^2=\\=(c_k-a_k)(\overline{c_k}-\overline{a_k})-|c_k|^2=\\=|a_k|^2-\overline{a_k}c_k-a_k\overline{c_k}\end{array} 		\Vert\mathbf u\Vert^2+\sum_{k=1}^n\vert c_k-a_k\vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2 =
המקרה המינימלי הוא כאשר \forall k:\ a_k=c_k \Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2 \ge

מכאן ש־\|\mathbf u-\mathbf v\| מינימלי כאשר \mathbf v=\tilde\mathbf u. \blacksquare התוצאה נותנת לנו גם את אי־שיוויון בסל: \|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|c_k|^2.

הכללה

בהינתן בסיס אורתוגונלי S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} של W (שאינו בהכרח אורתונורמלי) ניתן להכליל את הנוסחה הנ״ל ל־\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k.

הוכחה
S בסיס ולכן וקטור האפס אינו נמצא בו. לפיכך הקבוצה \left\{\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|},\dots,\frac{\mathbf b_n}{\|\mathbf b_n\|}\right\} מוגדרת ואורתונורמלית, ולבסוף
\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k=\sum_{k=1}^n\frac{\overline{\|\mathbf b_k\|}\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle}{\|\mathbf b_k\|^2}\|\mathbf b_k\|\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\sum_{k=1}^n\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\tilde\mathbf u

\blacksquare

תרגיל

נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע [-1,1]. נגדיר מ״פ באופן הבא: \langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx. מצאו קירוב ל־f(x)=x^3 בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}.

פתרון

מתקיים:
\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=0\cdot\mathbf e_1+\frac\sqrt65\mathbf e_2=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}

ולפיכך \left\|x^3-\frac35x\right\| מינימלי בקטע. \blacksquare

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אנליזת_פורייה_ויישומים_קיץ_תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12&oldid=24952