אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12

michael.michaeli (@) gmail.com

---

הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון $F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)$), מכפלה פנימית (כגון $\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx$ ב־$C[a,b]$), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)‏ ($|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|$), מרחבי הסדרות $\ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\}$ עם $\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i}$, אורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים החדשים והקשים לזכירה:

אי־שיוויון הולדר (Holder)

אם $x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q$ כאשר $\frac1p+\frac1q=1$ (כלומר, $\ell_p,\ell_q$ צמודים) אזי $\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q$.

הוכחה

נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):‏ $\forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q$. נבחר עבור $n$ כרצוננו $\alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}$, ונסכום לכל $n$: $\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1$. נכפול ב־$\|x\|_p\|y\|_q$

תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt)

התהליך מאשר להפוך כל קבוצה $B=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}$ בת״ל לקבוצה $\tilde B=\{\tilde\mathbf v_1,\dots,\tilde\mathbf v_n\}$ אורתונורמלית כך ש־$\mbox{span}(B)=\mbox{span}(\tilde B)$.

טענת עזר: יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית, ותהי $S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ קבוצה אורתונורמלית ב־$V$. אם $\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k$ אזי $\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle$. הוכחה: $\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_i$

אם נגדיר $W=\mbox{span}(S)$ תת־מרחב של $V$ ואם $\mathbf u\in V\setminus W$ אזי ברור ש־$\mathbf u\ne\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k$. במקרה זה קיים איבר אחר $\tilde\mathbf u$ שהוא הקירוב הטוב ביותר ל־$\mathbf u$ ב־$W$ (כלומר, $\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|$ מינימלי), ומתקיים $\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k$. דוגמה: נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע $[-1,1]$. נגדיר מ״פ באופן הבא: $\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx$. נמצא קירוב ל־$f(x)=x^3$ בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית $S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}$. מתקיים:

$\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}$

ולפיכך $\left\|x^3-\frac35x\right\|$ מינימלי.