הבדלים בין גרסאות בדף "לכסון מטריצה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "'''הגדרה:''' תהי A מטריצה ריבועית. אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות|דומה...")
 
 
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות|דומה]] למטריצה אלכסונית
 
אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות|דומה]] למטריצה אלכסונית
 +
 +
 +
'''משפט.'''
 +
 +
תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.
 +
 +
 +
'''הוכחה.'''
 +
 +
ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:
 +
 +
::<math>D=P^{-1}AP</math>
 +
 +
נכפול משמאל במטריצה P לקבל
 +
 +
::<math>PD=AP</math>
 +
 +
 +
נסמן את עמודות המטריצה P ב<math>C_1,...,C_n</math> ואת איברי האלכסון של D ב<math>d_1,...,d_n\in\mathbb{F}</math>.
 +
 +
 +
לפי שיטת '''כפל עמודה עמודה''' אנו שמים לב כי השיוויון
 +
 +
::<math>PD=AP</math>
 +
 +
שקול לכך שלכל i מתקיים
 +
 +
::<math>AC_i=d_iC_i</math>
 +
 +
ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש <math>C_i\neq 0</math> כיוון שP הפיכה).
 +
 +
בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב <math>\mathbb{F}^n</math>.
 +
 +
סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.
 +
 +
 +
 +
בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים
 +
 +
::<math>PD=AP</math>
 +
 +
כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל
 +
 +
::<math>D=P^{-1}AP</math>
 +
 +
כלומר A לכסינה.
 +
 +
  
 
==דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות==
 
==דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות==

גרסה אחרונה מ־11:55, 25 באוקטובר 2012

הגדרה: תהי A מטריצה ריבועית.

אומרים כי A מטריצה לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית


משפט.

תהי A\in\mathbb{F}^{n\times n} מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב \mathbb{F}^n כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.


הוכחה.

ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

D=P^{-1}AP

נכפול משמאל במטריצה P לקבל

PD=AP


נסמן את עמודות המטריצה P בC_1,...,C_n ואת איברי האלכסון של D בd_1,...,d_n\in\mathbb{F}.


לפי שיטת כפל עמודה עמודה אנו שמים לב כי השיוויון

PD=AP

שקול לכך שלכל i מתקיים

AC_i=d_iC_i

ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש C_i\neq 0 כיוון שP הפיכה).

בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב \mathbb{F}^n.

סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.


בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים

PD=AP

כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל

D=P^{-1}AP

כלומר A לכסינה.


דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות

באמצעות לכסון ניתן למצוא חזקות גבוהות של מטריצות באופן הבא. נניח A מטריצה לכסינה, לכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

A=PDP^{-1}

ולכן

A^k=\Big(PDP^{-1}\Big)^k = PDP^{-1}\cdot PDP^{-1} \cdots PDP^{-1}


אבל

P^{-1}\cdot P=I


לכן סה"כ אנחנו מקבלים

A^k=PD^kP^{-1}


כאשר להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה קל מאד.