הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12"

הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12"

גרסה מ־16:42, 3 באוגוסט 2012

תוכן עניינים

מבוא

מד״ר מסדר ראשון

גרסה מ־16:42, 3 באוגוסט 2012

תוכן עניינים

מבוא

מד״ר מסדר ראשון

תפריט הניווט

בעיית קושי

פתרון רגולרי וסינגולרי

משפט הקיום והיחידות

מד״ר עם משתנים מופרדים

מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים

הומוגניות

בעיית קושי

פתרון רגולרי וסינגולרי

משפט הקיום והיחידות

מד״ר עם משתנים מופרדים

מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים

הומוגניות

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

דוגמה

צורה כללית

דוגמה

משפט

מד״ר הומוגנית

דוגמה

צורה כללית

דוגמה

משפט

מד״ר הומוגנית

דוגמה

הוכחה

תרגיל

דוגמה

הוכחה

תרגיל

פתרון

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי $x$ לבין משתנה תלוי $y$ . בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.

הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא $F\Big(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\Big)=0$ ( $F$ פונקציה ב־ $n+2$ משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא $F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0$ .

הגדרות: הסדר של מד״ר הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. המעלה היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים:

$2xy'-3y=0$ : הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
$2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0$ : הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
$2y''+2x^2y=0$ : הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
$\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-x^3\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^3=0$ : הסדר הוא 3 והמעלה – 1.

קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:

אם $y'={\mathrm e}^{2x}$ אזי $y=\int {\mathrm e}^{2x}\mathrm dx=\frac{{\mathrm e}^{2x}}2+c$ .
$\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}$

נשים לב שיש אינסוף פתרונות.

לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן $y'={\mathrm e}^{-x^2}$ נקבל $y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx$ , והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה $\mbox{erf}$ שעבורה $y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c$ .

הגדרה: צורה נורמלית של מד״ר היא $y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ כאשר $n$ סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, $y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0$ .

הערה: $\equiv$ מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם $f\equiv g$ אז בפרט $f(x)=g(x)$ , ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־ $\equiv$ שיוויון זהותי.

תהי $F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)$ פונקציה לינארית במשתנים $z_0,\dots,z_n$ . אזי המד״ר המתאימה $F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0$ תקרא לינארית. $\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0$ , למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: $y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)$ . אם $f(x)\equiv0$ אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: $(y')^2+x^2+2=0$ .

הגדרה: פתרון של מד״ר הוא פונקציה $\varphi(x)$ כך שבהצבת $y=\varphi(x)$ המד״ר הופכת לזהות $F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0$ . דוגמה: $\varphi(x)=x^2$ היא פתרון של $xy'-2y=0$ מפני שבהצבה $y=\varphi(x)$ נקבל $x(2x)-2x^2=0$ , מה שמתקיים תמיד.

הגדרה: פתרון כללי של מד״ר הוא משפחת פונקציות

\varphi(x,c_1,\dots,c_n)

שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־

n

פרמטרים וגזיר

n

פעמים לפי

x

. דוגמה:

\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}

\blacksquare

הגדרה: מד״ר מסדר ראשון היא מד״ר מהצורה

F(x,y,y')=0

. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא

y'=f(x,y)

. דוגמאות:

$xy'=x+y$
$\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}$
$y'+x^2y=0$

מד״ר 2 שקולה ל־ $\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx$ ומד״ר 3 שקולה ל־ $\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0$ . אלה הצורות הדיפרנציאליות.

בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר $y'=f(x,y)$ המקיים תנאי התחלה $y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0$ .

הגדרות: בהנתן פתרון כללי של מד״ר $y=\varphi(x,c)$ , פתרון המתקבל ע״י הצבת $c=c_0$ מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־ $c$ מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. דוגמה: נתונה המד״ר $(y')^2=4y$ . הפתרון הרגולרי הכללי הוא $y=(x+c)^2$ לכל $c$ , כגון $y=(x+3)^2$ . $y=0$ פתרון סינגולרי.

נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט (את הגרסה המדויקת ואת ההוכחה נציג בהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית $y'=f(x,y)$ . אם הפונקציה $f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ במשתנה $y$ בסביבה מסוימת של הנקודה $(x_0,y_0)$ אזי קיימת סביבה שלה שבה למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־ $(x_0,y_0)$ (כלומר מקיים $y(x_0)=y_0$ ).

תזכורת: $f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ אם $\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2|$ .

נתון $2xy+y'=0$ . אזי

נניח $y\not\equiv0$ :^[1]	$\frac{y'}y=-2x$
	$\frac{y'\mathrm dx}y=-2x\mathrm dx$	$\implies$
	$\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx$	$\implies$
	$\ln\vert y\vert=-x^2+c_1$	$\implies$
נציב $c_2:={\mathrm e}^{c_1}$ :	$\vert y\vert=c_2{\mathrm e}^{-x^2},\quad c_2>0$	$\implies$
נציב $c:=c_2\sgn(y)$ :^[2]	$y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\ne0$	$\implies$

^ הערה 1: הנחנו ש־ $y\not\equiv0$ וחילקנו ב־ $y$ , אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן $y=0$ ? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־ $y$ גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם $y\ne0$ . אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בנקודות שבהן $y=0$ .

^ הערה 2: הגדרנו $c=c_2\sgn(y)$ , אך נשים לב ש־ $c$ מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: $\mathrm e^{-x^2}>0$ לכל $x$ ומכאן שלא קיימת נקודה שבה $y=0$ . לפיכך, מפני ש־ $y$ רציפה, $y$ אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר $\sgn(y)$ קבוע. כך נקבל שגם $c$ קבוע, כדרוש.

עתה נתייחס למקרה שבו $y\equiv0$ . הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא $y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\in\mathbb R$ . $\blacksquare$

נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם $y'=f(x)g(y)$ אזי $\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx$ .

הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: $M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0$ . אם $N_1(y_0)=0$ עבור $y_0$ כלשהו אזי $y(x)\equiv y_0$ פותר את המד״ר. אם $M_2(x_0)=0$ עבור $x_0$ כלשהו אזי $x(y)\equiv x_0$ פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם $N_1(y)M_2(x)\ne0$ נחלק בהם ונקבל $\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c$ .

$x^2y^2y'=y-1$ . נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל $x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0$ . הפתרונות הם $y=1$ או $x=0$ או $\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0$ . במקרה האחרון $-\frac1x=\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c_1$ . לא נצליח לחלץ את $y$ , אבל נוכל לחלץ את $x$ : $x=\frac1{c-y^2/2-y-\ln|y-1|}$ (כאשר $c=-c_1$ ). $\blacksquare$

נתונה מד״ר מהצורה

y'=f(ax+by)

. נגדיר

z=ax+by

, לכן

z'=a+by'

ולפיכך

\begin{align}&z'=a+bf(z)\\\implies&\frac{z'}{bf(z)+a}=1\\\implies&\underbrace{\int\frac{\mathrm dz}{bf(z)+a}}_{g(z)}=x+c\end{align}

לכן $g(ax+by)=x+c$ ואם $g$ הפיכה אזי $y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b$ .

$y'=\frac{1-x+y}{x-y}$ . אזי עבור $z=x-y$ נקבל

הצבת $z\equiv\frac12$ נותנת $y'=\frac{1-\frac12}{1/2}=1$ ולכן $y=x+\frac12$ פתרון. $\blacksquare$

הגדרה: פונקציה $f(x,y)$ נקראת הומוגנית מסדר $k$ אם לכל $\lambda>0$ מתקיים $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)$ . למשל:

$f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$ הומוגנית מסדר 0 כי $f(\lambda x,\lambda y)=\frac{\lambda x-\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=\frac{x-y}{x+y}=\lambda^0f(x,y)$ .
$f(x,y)=x^2+3y^2+8xy$ הומוגנית מסדר 2 כי $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^2x^2+3\lambda^2y^2+8\lambda^2xy=\lambda^2f(x,y)$ .

פונקציה $f(x,y)$ ניתנת לכתיבה בצורה $f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)$ לכל $x\ne0$ אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.

$\Longleftarrow$ : $f(\lambda x,\lambda y)=\varphi\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)=\varphi\left(\frac yx\right)=f(x,y)$ .

$\implies$ : נתון $f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$ . אם $x>0$ נבחר $\lambda=\frac1x$ ולכן $f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)=f\left(1,\frac yx\right)=\varphi_1\left(\frac yx\right)$ . במקרה $x<0$ נציב $\lambda=-\frac1x$ , ואז $f(x,y)=f\left(-1,-\frac yx\right)=\varphi_2\left(\frac yx\right)$ . $\blacksquare$

הגדרה: אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה $y'=g\left(\frac yx\right)$ אזי היא נקראת הומוגנית.

ניתן לפתור כל מד״ר הומוגנית באמצאות ההצבה $z=\frac yx$ : מתקיים $g(z)=y'=(zx)'=z'x+z$ ולכן אם $z\not\equiv g(z)$ אז

\begin{align}&g(z)-z=xz'\\\implies&\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x\end{align}

עבור $h(z)$ המוגדרת כאגף שמאל, $h(z)=h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c$ . במידה ו־ $h$ הפיכה $y=xh^{-1}(\ln|x|+c)$ .

פתרו $xy'=x+y$ עם תנאי ההתחלה $y(3)=8$ .

בנקודות

x\ne0

נקבל

y'=1+\frac yx=1+z

. בנוסף,

\begin{align}&y=zx\\\implies&y'=(zx)'=z'x+z\\\implies&z'x=z-(1+z)=1\\\implies&\int z'\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}x\\\implies&z=\ln|x|+c_1\\\implies&y=xz=x(\ln|x|+c_1)\end{align}

נסמן

c={\mathrm e}^{c_1}

ולפיכך

y=x\ln|cx|,\quad c>0

. אם נציב את תנאי ההתחלה נקבל

8=y(3)=3\ln|c\cdot3|

ולפיכן

c=\frac{\mathrm e^{8/3}}3

. לסיכום,

y=x\ln\left|\frac{\mathrm e^{8/3}}3x\right|

.

\blacksquare

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-מרצה: ראובן כהן, reuven (@) math.biu.ac.il
+== מבוא ==
-u.math.biu.ac.il/~reuven/ode.pdf
--5217779
------
-= מבוא =
 משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי <math>x</math> לבין משתנה תלוי <math>y</math>. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.
@@ שורה 13: / שורה 5: @@
 הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא <math>F\Big(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\Big)=0</math> (<math>F</math> פונקציה ב־<math>n+2</math> משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא <math>F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0</math>.
-'''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. דוגמאות:
+'''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים:
 * <math>2xy'-3y=0</math>: הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
 * <math>2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0</math>: הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
@@ שורה 21: / שורה 13: @@
 קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:
 * אם <math>y'={\mathrm e}^{2x}</math> אזי <math>y=\int {\mathrm e}^{2x}\mathrm dx=\frac{{\mathrm e}^{2x}}2+c</math>.
-* <math>\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}</math>
+* {{left|<math>\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}</math>}}
 נשים לב שיש אינסוף פתרונות.
-לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>.
+לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>.
-'''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1})</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>.
+'''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>.
-תהי <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0,\dots,z_n</math>. אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. לדוגמה: <math>\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math>. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math>. אם <math>f(x)\equiv0</math> אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: <math>(y')^2+x^2+2=0</math>.
+''הערה:'' <math>\equiv</math> מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם <math>f\equiv g</math> אז בפרט <math>f(x)=g(x)</math>, ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־<math>\equiv</math> שיוויון זהותי.
-'''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה <math>\varphi(x)</math> כך שבהצבת <math>y=\varphi(x)</math> המד״ר הופכת לזהות <math>F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0</math>. דוגמה: <math>y=\varphi(x)=x^2</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\varphi(x)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2=0</math>, מה שמתקיים תמיד.
+תהי <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0,\dots,z_n</math>. אזי המד״ר המתאימה <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0</math> תקרא לינארית. <math>\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math>, למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math>. אם <math>f(x)\equiv0</math> אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: <math>(y')^2+x^2+2=0</math>.
-'''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>y=\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> התלויות ב־<math>n</math> פרמטרים וגזירות <math>n</math> פעמים לפי x. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}
+'''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה <math>\varphi(x)</math> כך שבהצבת <math>y=\varphi(x)</math> המד״ר הופכת לזהות <math>F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0</math>. דוגמה: <math>\varphi(x)=x^2</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\varphi(x)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2=0</math>, מה שמתקיים תמיד.
+'''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־<math>n</math> פרמטרים וגזיר <math>n</math> פעמים לפי <math>x</math>. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}{{משל}}
 == מד״ר מסדר ראשון ==
 '''הגדרה:''' ''מד״ר מסדר ראשון'' היא מד״ר מהצורה <math>F(x,y,y')=0</math>. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא <math>y'=f(x,y)</math>. דוגמאות:{{left|
-* <math>xy'=x+y</math>
+# <math>xy'=x+y</math>
-* <math>\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}</math>
+# <math>\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}</math>
-<math>xy'=x+y, y'=\frac yx,y'+x^2y=0</math>. לגבי המשוואה האחרונה: <math>y'\mathrm dx+x^2y\mathrm dx=0</math> ולכן <math>\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0</math>. זו הצורה הדיפרנציאלית. לגבי המשוואה השנייה: <math>\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx</math>.
+# <math>y'+x^2y=0</math>}}
-}}
+מד״ר 2 שקולה ל־<math>\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx</math> ומד״ר 3 שקולה ל־<math>\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0</math>. אלה הצורות הדיפרנציאליות.
 === בעיית קושי ===
-למצוא פתרון למד״ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיים תנאי התחלה <math>y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0</math>.
+בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיים תנאי התחלה <math>y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0</math>.
-'''פתרון רגולרי וסינגולרי:''' בהנתן פתרון כללי של מד״ר <math>y=\varphi(x,c)</math>, פתרון המתקבל ע״י הצבת <math>c=c_0</math> מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־c מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. '''דוגמה:''' <math>(y')^2=4y</math>. הפתרון הכללי הוא <math>y=(x+c)^2</math> לכל c. לדוגמה <math>y=(x+3)^2</math> הוא פתרון רגולרי, ו־<math>y=0</math> פתרון סינגולרי.
+=== פתרון רגולרי וסינגולרי ===
+'''הגדרות:''' בהנתן פתרון כללי של מד״ר <math>y=\varphi(x,c)</math>, פתרון המתקבל ע״י הצבת <math>c=c_0</math> מסוים נקרא ''פתרון פרטי'', ''רגולרי'' או ''רגיל''. פתרון שאינו מתקבל מ־<math>c</math> מסוים נקרא ''פתרון סינגולרי'' או ''מיוחד''. דוגמה: נתונה המד״ר <math>(y')^2=4y</math>. הפתרון הרגולרי הכללי הוא <math>y=(x+c)^2</math> לכל <math>c</math>, כגון <math>y=(x+3)^2</math>. <math>y=0</math> פתרון סינגולרי.
-=== משפט ===
+=== משפט הקיום והיחידות ===
-נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט הקיום והיחידות. את הגרסה המדוייקת ואת ההוכחה נציג בשיעור הבא. בהינתן מד״ר בצורה נורמלית <math>y'=f(x,y)</math>. אם הפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ במשנתנה <math>y</math> בסביבה מסויימת של הנקודה <math>(x_0,y_0)</math> אזי קיימת סביבה שלה <math>D</math> שבה המד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־<math>(x_0,y_0)</math> (כלומר מקיים <math>y(x_0)=y_0</math>).
+נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט (את הגרסה המדויקת ואת ההוכחה נציג בהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית <math>y'=f(x,y)</math>. אם הפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ במשתנה <math>y</math> בסביבה מסוימת של הנקודה <math>(x_0,y_0)</math> אזי קיימת סביבה שלה שבה למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־<math>(x_0,y_0)</math> (כלומר מקיים <math>y(x_0)=y_0</math>).
-'''תזכורת:''' <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_0|</math>.
+'''תזכורת:''' <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2|</math>.
 === מד״ר עם משתנים מופרדים ===
-'''דוגמה:''' <math>2xy+y'=0</math>. אם <math>y\ne0</math> אז <math>\frac{y'}y=-2x</math>. מכאן ש־<math>\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx</math> ולפיכך <math>\ln|y|=-x^2+c_1</math>. נסמן <math>c_2={\mathrm e}^{c_1}</math> ונקבל <math>|y|=c_2{\mathrm e}^{-x^2}, c_2>0</math> ולפיכך (עבור <math>c=c_2\sgn(y)</math>) <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\ne0</math>. נשים לב שבפתרון התעלמנו מהמקרה <math>y=0</math> ולבסוף הפתרון הסופי הוא <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\in\mathbb R</math>. מקרה כללי: אם <math>y'=f(x)g(y)</math> אזי <math>\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx</math>.
+==== דוגמה ====
+נתון <math>2xy+y'=0</math>. אזי
+{|
+{{=|o= |r=\frac{y'}y=-2x |c=נניח <math>y\not\equiv0</math>:{{הפניה|ה-1|1}}}}
+{{=|o=\implies |r=\frac{y'\mathrm dx}y=-2x\mathrm dx }}
+{{=|o=\implies |r=\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx }}
+{{=|o=\implies |r=\ln\vert y\vert=-x^2+c_1 }}
+{{=|o=\implies |r=\vert y\vert=c_2{\mathrm e}^{-x^2},\quad c_2>0 |c=נציב <math>c_2:={\mathrm e}^{c_1}</math>:}}
+{{=|o=\implies |r=y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\ne0 |c=נציב <math>c:=c_2\sgn(y)</math>:{{הפניה|ה-2|2}}}}
+|}
+[[#ה-1-ref|^]] {{עוגן|ה-1|''הערה 1:''}} הנחנו ש־<math>y\not\equiv0</math> וחילקנו ב־<math>y</math>, אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן <math>y=0</math>? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־<math>y</math> גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם <math>y\ne0</math>. אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בנקודות שבהן <math>y=0</math>.
+{{פס|[[#ה-2-ref|^]] {{עוגן|ה-2|''הערה 2:''}} הגדרנו <math>c=c_2\sgn(y)</math>, אך נשים לב ש־<math>c</math> מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: <math>\mathrm e^{-x^2}>0</math> לכל <math>x</math> ומכאן שלא קיימת נקודה שבה <math>y=0</math>. לפיכך, מפני ש־<math>y</math> רציפה, <math>y</math> אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר <math>\sgn(y)</math> קבוע. כך נקבל שגם <math>c</math> קבוע, כדרוש.}}
+עתה נתייחס למקרה שבו <math>y\equiv0</math>. הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\in\mathbb R</math>. {{משל}}
+נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם <math>y'=f(x)g(y)</math> אזי <math>\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx</math>.
+==== צורה כללית ====
+הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>N_1(y_0)=0</math> עבור <math>y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)\equiv y_0</math> פותר את המד״ר. אם <math>M_2(x_0)=0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(y)\equiv x_0</math> פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם <math>N_1(y)M_2(x)\ne0</math> נחלק בהם ונקבל <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c</math>.
-הצורה הכללית של מד״ר עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>N_1(y_0)=0</math> עבור <math>y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)=y_0</math> פותר את המד״ר. אם <math>M_2(x_0)=0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(y)=x_0</math> פתרון (במובן כלשהו). אם <math>N_1(y)M_2(x)\ne0</math> נחלק בהם ונקבל <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c</math>. דוגמה: <math>x^2y^2y'=y-1</math>. בכתיב דיפרנציאלי <math>x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0</math> פתרונות: <math>y=1\ \or\ x=0</math> או <math>\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0</math>. לכן <math>\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c=-\frac1x+c</math>. לא נצליח לחלץ את <math>y</math>, אבל נוכל לחלץ את <math>x</math>: <math>x=\frac1{c-y^2-y-\ln|y-1|}</math>.
+===== דוגמה =====
+<math>x^2y^2y'=y-1</math>. נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל <math>x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0</math>. הפתרונות הם <math>y=1</math> או <math>x=0</math> או <math>\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0</math>. במקרה האחרון <math>-\frac1x=\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c_1</math>. לא נצליח לחלץ את <math>y</math>, אבל נוכל לחלץ את <math>x</math>: <math>x=\frac1{c-y^2/2-y-\ln|y-1|}</math> (כאשר <math>c=-c_1</math>). {{משל}}
 === מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים ===
-<math>y'=f(ax+by)</math>. נגדיר <math>z=ax+by</math>, לכן <math>z'=a+by'</math> כלומר <math>f(z)=y'=\frac{z'-a}b</math> ולכן <math>\int\frac{z'}{bf(z)+a}\mathrm dx=x+c</math>. נסמן את אגף שמאל כ־<math>g(z)</math> ולכן <math>g(ax+by)=x+C</math> ואם <math>g</math> הפיכה אזי <math>y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b</math>.
+נתונה מד״ר מהצורה <math>y'=f(ax+by)</math>. נגדיר <math>z=ax+by</math>, לכן <math>z'=a+by'</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}&z'=a+bf(z)\\\implies&\frac{z'}{bf(z)+a}=1\\\implies&\underbrace{\int\frac{\mathrm dz}{bf(z)+a}}_{g(z)}=x+c\end{align}</math>}}
+לכן <math>g(ax+by)=x+c</math> ואם <math>g</math> הפיכה אזי <math>y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b</math>.
-'''דוגמה:''' <math>y'=\frac{1-x+y}{x-y}</math>. אזי עבור <math>z=x-y</math> נקבל <math>z'=\frac{2z-1}z</math>. לפיכך <math>\int\frac{zz'}{2z-1}\mathrm dx=\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dx=1</math>. מכאן ש־<math>\frac z2+\frac14\ln\left|z-\frac12\right|=x+c</math> ולבסוף: <math>\frac{x-y}2+\frac14\ln\left|x-y-\frac12\right|=x+c</math>.
+==== דוגמה ====
+<math>y'=\frac{1-x+y}{x-y}</math>. אזי עבור <math>z=x-y</math> נקבל
+{|
+{{=|o= |r=z'=1-y'=\frac{2z-1}z }}
+{{=|o=\implies |r=\frac{zz'}{2z-1}=1 |c=נניח <math>z\not\equiv\frac12</math>:}}
+{{=|o=\implies |r=\int\frac z{2z-1}\mathrm dz=\int\mathrm dx }}
+{{=|o=\implies |r=\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dz=x+c }}
+{{=|o=\implies |r=\frac z2+\frac14\ln\left\vert z-\frac12\right\vert=x+c}}
+{{=|o=\implies |r=\frac{x-y}2+\frac14\ln\left\vert x-y-\frac12\right\vert=x+c }}
+|}
+הצבת <math>z\equiv\frac12</math> נותנת <math>y'=\frac{1-\frac12}{1/2}=1</math> ולכן <math>y=x+\frac12</math> פתרון. {{משל}}
+=== הומוגניות ===
+'''הגדרה:''' פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת ''הומוגנית מסדר <math>k</math>'' אם לכל <math>\lambda>0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>. למשל:
+* <math>f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 0 כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\frac{\lambda x-\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=\frac{x-y}{x+y}=\lambda^0f(x,y)</math>.
+* <math>f(x,y)=x^2+3y^2+8xy</math> הומוגנית מסדר 2 כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^2x^2+3\lambda^2y^2+8\lambda^2xy=\lambda^2f(x,y)</math>.
-=== מד״ר הומוגנית ===
+==== משפט ====
-פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר <math>k</math> אם לכל <math>\lambda>0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>.
+פונקציה <math>f(x,y)</math> ניתנת לכתיבה בצורה <math>f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)</math> לכל <math>x\ne0</math> אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.
-דוגמאות:
+===== הוכחה =====
-* <math>f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 0.
+<math>\Longleftarrow</math>: <math>f(\lambda x,\lambda y)=\varphi\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)=\varphi\left(\frac yx\right)=f(x,y)</math>.
-* <math>f(x,y)=x^2+3y^2+8xy</math> הומוגנית מסדר 2.
-=== משפט ===
+<math>\implies</math>: נתון <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>. אם <math>x>0</math> נבחר <math>\lambda=\frac1x</math> ולכן <math>f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)=f\left(1,\frac yx\right)=\varphi_1\left(\frac yx\right)</math>. במקרה <math>x<0</math> נציב <math>\lambda=-\frac1x</math>, ואז <math>f(x,y)=f\left(-1,-\frac yx\right)=\varphi_2\left(\frac yx\right)</math>. {{משל}}
-פונקציה <math>f(x,y)</math> ניתנת לכתיבה בצורה <math>f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)</math> אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.
-==== הוכחה ====
+==== מד״ר הומוגנית ====
-<math>\Longleftarrow</math>: טריוויאלי.
+'''הגדרה:''' אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>y'=g\left(\frac yx\right)</math> אזי היא נקראת ''הומוגנית''.
-<math>\implies</math>: נתון <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>. נבחר <math>\lambda=\frac1x</math> (כאשר <math>x>0</math>) ולכן <math>f(\lambda x,\lambda y)=\underbrace{f\left(1,\frac yx\right)}_{\varphi\left(\frac yx\right)}=f(x,y)</math>. במקרה <math>x<0</math> נציב <math>\lambda=-\frac1x</math>.
-'''הגדרה:''' אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>y'=g\left(\frac yx\right)</math> אזי היא נקראת הומוגנית.
+ניתן לפתור כל מד״ר הומוגנית באמצאות ההצבה <math>z=\frac yx</math>: מתקיים <math>g(z)=y'=(zx)'=z'x+z</math> ולכן אם <math>z\not\equiv g(z)</math> אז
+{{left|<math>\begin{align}&g(z)-z=xz'\\\implies&\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x\end{align}</math>}}
+עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h(z)=h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c</math>. במידה ו־<math>h</math> הפיכה <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c)</math>.
-'''דוגמה:''' <math>z(x)=\frac yx</math> לכן <math>y=zx\implies g(z)=y'=z'x+z</math>. אזי <math>\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x</math> ולפיכך, עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c</math> ואז <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c)</math> אם <math>h</math> הפיכה.
+===== תרגיל =====
+פתרו <math>xy'=x+y</math> עם תנאי ההתחלה <math>y(3)=8</math>.
-'''דוגמה:''' <math>xy'=x+y</math>. אם <math>x\ne0</math> נקבל <math>y'=1+\frac yx=1+z</math> ואז <math>z'x=1</math>. לבסוף <math>y=x\ln|x|+xc_1</math>. נסמן <math>c={\mathrm e}^{c_1}</math> ולפיכך <math>y=x\ln(cx)</math>. נתונים תנאי ההתחלה <math>y(3)=8</math> אזי <math>c=\frac13 {\mathrm e}^{8/3}</math>.
+====== פתרון ======
+בנקודות <math>x\ne0</math> נקבל <math>y'=1+\frac yx=1+z</math>. בנוסף, {{left|<math>\begin{align}&y=zx\\\implies&y'=(zx)'=z'x+z\\\implies&z'x=z-(1+z)=1\\\implies&\int z'\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}x\\\implies&z=\ln|x|+c_1\\\implies&y=xz=x(\ln|x|+c_1)\end{align}</math>}} נסמן <math>c={\mathrm e}^{c_1}</math> ולפיכך <math>y=x\ln|cx|,\quad c>0</math>. אם נציב את תנאי ההתחלה נקבל <math>8=y(3)=3\ln|c\cdot3|</math> ולפיכן <math>c=\frac{\mathrm e^{8/3}}3</math>. לסיכום, <math>y=x\ln\left|\frac{\mathrm e^{8/3}}3x\right|</math>. {{משל}}

$z'=1-y'=\frac{2z-1}z$

נניח $z\not\equiv\frac12$ :

$\frac{zz'}{2z-1}=1$

$\implies$

$\int\frac z{2z-1}\mathrm dz=\int\mathrm dx$

$\implies$

$\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dz=x+c$

$\implies$

$\frac z2+\frac14\ln\left\vert z-\frac12\right\vert=x+c$

$\implies$

$\frac{x-y}2+\frac14\ln\left\vert x-y-\frac12\right\vert=x+c$

$\implies$