מרצה: ראובן כהן, reuven (@) math.biu.ac.il

u.math.biu.ac.il/~reuven/ode.pdf

050-5217779

תוכן עניינים

1 מבוא
- 1.1 מד״ר מסדר ראשון

מבוא

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי $x$ לבין משתנה תלוי $y$ . בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.

הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא $F\Big(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\Big)=0$ ( $F$ פונקציה ב־ $n+2$ משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא $F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0$ .

הגדרות: הסדר של מד״ר הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. המעלה היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. דוגמאות:

$2xy'-3y=0$ : הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
$2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0$ : הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
$2y''+2x^2y=0$ : הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
$\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-x^3\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^3=0$ : הסדר הוא 3 והמעלה – 1.

קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:

אם $y'={\mathrm e}^{2x}$ אזי $y=\int {\mathrm e}^{2x}\mathrm dx=\frac{{\mathrm e}^{2x}}2+c$ .
$\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}$

נשים לב שיש אינסוף פתרונות.

לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן $y'={\mathrm e}^{-x^2}$ נקבל $y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx$ , והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציה $\mbox{erf}$ שעבורה $y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c$ .

הגדרה: צורה נורמלית של מד״ר היא $y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1})$ כאשר $n$ סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, $y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0$ .

תהי $F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)$ פונקציה לינארית במשתנים $z_0,\dots,z_n$ . אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. לדוגמה: $\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0$ . מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: $y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)$ . אם $f(x)\equiv0$ אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: $(y')^2+x^2+2=0$ .

הגדרה: פתרון של מד״ר הוא פונקציה $\varphi(x)$ כך שבהצבת $y=\varphi(x)$ המד״ר הופכת לזהות $F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0$ . דוגמה: $y=\varphi(x)=x^2$ היא פתרון של $xy'-2y=0$ מפני שבהצבה $y=\varphi(x)$ נקבל $x(2x)-2x^2=0$ , מה שמתקיים תמיד.

הגדרה: פתרון כללי של מד״ר הוא משפחת פונקציות

y=\varphi(x,c_1,\dots,c_n)

התלויות ב־

n

פרמטרים וגזירות

n

פעמים לפי x. דוגמה:

\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}

מד״ר מסדר ראשון

הגדרה: מד״ר מסדר ראשון היא מד״ר מהצורה

F(x,y,y')=0

. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא

y'=f(x,y)

. דוגמאות:

$xy'=x+y$
$\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}$

$xy'=x+y, y'=\frac yx,y'+x^2y=0$ . לגבי המשוואה האחרונה: $y'\mathrm dx+x^2y\mathrm dx=0$ ולכן $\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0$ . זו הצורה הדיפרנציאלית. לגבי המשוואה השנייה: $\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx$ .

בעיית קושי

למצוא פתרון למד״ר $y'=f(x,y)$ המקיים תנאי התחלה $y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0$ .

פתרון רגולרי וסינגולרי: בהנתן פתרון כללי של מד״ר $y=\varphi(x,c)$ , פתרון המתקבל ע״י הצבת $c=c_0$ מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־c מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. דוגמה: $(y')^2=4y$ . הפתרון הכללי הוא $y=(x+c)^2$ לכל c. לדוגמה $y=(x+3)^2$ הוא פתרון רגולרי, ו־ $y=0$ פתרון סינגולרי.

משפט

נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט הקיום והיחידות. את הגרסה המדוייקת ואת ההוכחה נציג בשיעור הבא. בהינתן מד״ר בצורה נורמלית $y'=f(x,y)$ . אם הפונקציה $f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ במשנתנה $y$ בסביבה מסויימת של הנקודה $(x_0,y_0)$ אזי קיימת סביבה שלה $D$ שבה המד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־ $(x_0,y_0)$ (כלומר מקיים $y(x_0)=y_0$ ).

תזכורת: $f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ אם $\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_0|$ .

מד״ר עם משתנים מופרדים

דוגמה: $2xy+y'=0$ . אם $y\ne0$ אז $\frac{y'}y=-2x$ . מכאן ש־ $\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx$ ולפיכך $\ln|y|=-x^2+c_1$ . נסמן $c_2={\mathrm e}^{c_1}$ ונקבל $|y|=c_2{\mathrm e}^{-x^2}, c_2>0$ ולפיכך (עבור $c=c_2\sgn(y)$ ) $y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\ne0$ . נשים לב שבפתרון התעלמנו מהמקרה $y=0$ ולבסוף הפתרון הסופי הוא $y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\in\mathbb R$ . מקרה כללי: אם $y'=f(x)g(y)$ אזי $\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx$ .

הצורה הכללית של מד״ר עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: $M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0$ . אם $N_1(y_0)=0$ עבור $y_0$ כלשהו אזי $y(x)=y_0$ פותר את המד״ר. אם $M_2(x_0)=0$ עבור $x_0$ כלשהו אזי $x(y)=x_0$ פתרון (במובן כלשהו). אם $N_1(y)M_2(x)\ne0$ נחלק בהם ונקבל $\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c$ . דוגמה: $x^2y^2y'=y-1$ . בכתיב דיפרנציאלי $x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0$ פתרונות: $y=1\ \or\ x=0$ או $\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0$ . לכן $\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c=-\frac1x+c$ . לא נצליח לחלץ את $y$ , אבל נוכל לחלץ את $x$ : $x=\frac1{c-y^2-y-\ln|y-1|}$ .

מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים

$y'=f(ax+by)$ . נגדיר $z=ax+by$ , לכן $z'=a+by'$ כלומר $f(z)=y'=\frac{z'-a}b$ ולכן $\int\frac{z'}{bf(z)+a}\mathrm dx=x+c$ . נסמן את אגף שמאל כ־ $g(z)$ ולכן $g(ax+by)=x+C$ ואם $g$ הפיכה אזי $y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b$ .

דוגמה: $y'=\frac{1-x+y}{x-y}$ . אזי עבור $z=x-y$ נקבל $z'=\frac{2z-1}z$ . לפיכך $\int\frac{zz'}{2z-1}\mathrm dx=\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dx=1$ . מכאן ש־ $\frac z2+\frac14\ln\left|z-\frac12\right|=x+c$ ולבסוף: $\frac{x-y}2+\frac14\ln\left|x-y-\frac12\right|=x+c$ .

מד״ר הומוגנית

פונקציה $f(x,y)$ נקראת הומוגנית מסדר $k$ אם לכל $\lambda>0$ מתקיים $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)$ .

דוגמאות:

$f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$ הומוגנית מסדר 0.
$f(x,y)=x^2+3y^2+8xy$ הומוגנית מסדר 2.

משפט

פונקציה $f(x,y)$ ניתנת לכתיבה בצורה $f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)$ אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.

הוכחה

$\Longleftarrow$ : טריוויאלי. $\implies$ : נתון $f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$ . נבחר $\lambda=\frac1x$ (כאשר $x>0$ ) ולכן $f(\lambda x,\lambda y)=\underbrace{f\left(1,\frac yx\right)}_{\varphi\left(\frac yx\right)}=f(x,y)$ . במקרה $x<0$ נציב $\lambda=-\frac1x$ .

הגדרה: אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה $y'=g\left(\frac yx\right)$ אזי היא נקראת הומוגנית.

דוגמה: $z(x)=\frac yx$ לכן $y=zx\implies g(z)=y'=z'x+z$ . אזי $\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x$ ולפיכך, עבור $h(z)$ המוגדרת כאגף שמאל, $h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c$ ואז $y=xh^{-1}(\ln|x|+c)$ אם $h$ הפיכה.

דוגמה: $xy'=x+y$ . אם $x\ne0$ נקבל $y'=1+\frac yx=1+z$ ואז $z'x=1$ . לבסוף $y=x\ln|x|+xc_1$ . נסמן $c={\mathrm e}^{c_1}$ ולפיכך $y=x\ln(cx)$ . נתונים תנאי ההתחלה $y(3)=8$ אזי $c=\frac13 {\mathrm e}^{8/3}$ .