שינויים
/* דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים */
===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים===
נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם <math>\mathbb{Z}\times(\mathbb{ZN} \backslash \{0\})</math>. נסתכל על ההתאמה <math>(a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b}</math> האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד?
תשובה: לא. למשל, <math>\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> ואילו <math>(2,6)\neq (1,3)</math>. כלומר, המכפלה הקרטזית מכילה חזרות מיותרות לעומת הרציונאליים.
נרצה איפוא, להגדיר יחס שקילויות על הזוגות הסדורים של מספרים שלמים כך שכל שני שברים שקולים יהיו ביחס. שימו לב שאנו מגדירים יחס על קבוצת זוגות סדורים, ולכן האיברים ביחס הינם זוגות סדורים של זוגות סדורים. נגדיר
<math>R</math> על <math>\mathbb{Z}\times(\mathbb{ZN} \backslash \{0\})</math> ע"י
<math>(x,y)R(z,w) \iff xw=zy</math> (כלומר אם מתקיים עבור השברים <math>\frac{x}{y}=\frac{z}{w}</math>)
נוכיח רק טרנזיטיביות:
נניח <math>(x,y)R(z,w), (z,w)R(a,b) </math>
אזי <math> xw=zy, zb=aw </math> (צ"ל <math> xb=ay, zb=aw </math>)
כייון ש <math> w \not=0 </math> נקבל כי <math>x=\frac{zy}{w}</math> ולכן <math>xb=\frac{zby}{w}=\frac{awy}{w}=ay</math> כנדרש
