שינויים
הייתה טעות בדוגמה של CNF בC_2. התייחסות ל1 כמו שהוא ו0 כשלילה, כשזה צריך להיות הפוך.
[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
סיכום הנושא המלא נמצא בדף [[88-101 חשיבה מתמטית]].
אזהרה: דף זה נועד להכיר ללומד המתחיל את החשיבה הלוגיקית הקשיחה. כיוון שמדובר בלומד המתחיל ואיננו רוצים להבריח אותו, הדוגמאות וההסברים לעיתים "מעגלים פינות" (מבחינת דיוק קשיח ופורמלי) לטובת הסבר ברור ומסביר פנים. ==קַשָּרִים, כַּמָּתִיםפסוקים וקַשָּרִים, הצרנה וטבלאות אמת==
=== אטומים ופרדיקטים , פסוקים וקשרים===
הגדרה (לא פורמאלית): השפה העברית מורכבת ממשפטים. המקבילה בשפה המתמטית נקראת "פסוק".ה'''אטומים''' הם חלק מאבני היסוד של הפסוקים.
לדוגמא: הפסוק "שנת הלימודים החלה ויש 5 קורסים בשנה א'" מורכב משני אטומים- "שנת הלימודים החלה" ו"יש 5 קורסים בשנה א'" (שני האטומים מקשורים ע"י וו החיבור)
כפי שציינו פסוקים הם יחידות תוכן יותר מורכבות בשל השימוש בקשרים.=== קַשָּרִים וְכַמָּתִים = קשרים ====ִִִִִִ
הגדרה: יהיו A,B אטומים (או פרדיקטיםפסוקים) היכולים להיות אמת (1) או שקר (0) אזי הקשרים
* <math>A\to B</math> - "גרירה" (חד כיוונית)
* <math>A \or B</math> "או"
* <math>A\and B</math> "וגם"
* <math>\neg A</math> "שלילה"
מוגדרים ע"י טבלאת האמת הבאה(טבלת שכל שורה בה מתאימה להצבה אחרת אחרת באטומים):
{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
הערה: קשר נוסף שהינו נפוץ בתחום המתמטקיה והוא גרירה דו-כיוונית (ידוע בכינויו אם ורק אם, אמ"מ).
הגדרתו פשוטה (נובעת משמו..) והיא מוגדרת ע"י קשר הגרירה החד כיווני.
<math>A\iff leftrightarrow B := </math> שטבלת האמת שלו זהה לטבלת האמת של <math>(A\Rightarrow to B)\and(B\Rightarrow to A)</math>
==== פסוקים מורכבים ====
פסוקים יכולים להיות מורכבים יותר מאשר האטומים או חיבור של אטומים ע"י קשרים. המורכבות נוצרת ע"י הפעלה חוזרת של קשרים. במילים אחרות, נתייחס לכל אחד מהבאים כפסוק: א. אטומים ב. אם <math>p,q</math> פסוקים אזי <math>(p)\land (q),(p)\lor (q), (p)\to (q)</math> פסוקים. ג. אם <math>p</math> פסוק אזי <math>\lnot (p)</math> פסוק.
הצרנה- כתיבת רעיון בעזרת ניסוח פורמאלי
דוגמא: נצרין את המשפט: "אם יש בגרות בשעה חופפת לקורס אז הוא מתבטל ". נגדיר <math>A</math> = יש בגרות בשעה שחופפת לקורס. <math>B</math>= הקורס מתבטל. המשפט אומר <math>A\to B </math>. כלומר בגרות בשעה חופפת לקורס זה תנאי מספיק לכך שהקורס מתבטל. שימו לב שזהו לא תנאי הכרחי כי יתכן שהקורס יתבטל מסיבות אחרות.
הצרן: למדתי היטב למבחן, ואף על פי כן נכשלתי בו.
ההצרנה <math>[(A\land B)\to (C\lor D)]\and[(C \land \lnot A)\to B]</math>
===הגדרות הקשורות לקבוצות=טאוטולוגיות==ההגדרה האינטואיטיבית לקבוצה הגדרה : טאוטולוגיה הינה "אוסף של איברים"ביטוי שנכון תמיד ללא תלות בערכים שמציבים בו.בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות (קבוצות נוהגים לסמן בין 2 סוגריים מסולסלות):למשל <math>A \or \neg A</math>
הגדרה: נאמר שביטוי <math>\{1,\mathrm{horse},3\}A</math>, שקול טאוטולוגית לביטוי <math>B</math> (ונסמן <math>A \{1,2,3\}equiv B</math> ו)אם הביטוי <math>A \{1,\{2,3\},\{\}\}leftrightarrow B</math>הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה)
==טאוטולוגיות=טענת גרירה===הגדרה "טענות גרירה" הם טענות נפוצות במתמטיקה. טענות אלו פשוט טוענות שמתקיים כי: טאוטולוגיה הינה ביטוי שנכון תמיד ללא תלות בערכים שמציבים בואם (משהו) אז (משהו).למשל בשביל לרמוז על נכונות הטענה מסמנים <math>A \or \neg Rightarrow B</math> להדגיש כי הפסוק <math>A\rightarrow B</math> הינו אמת. במידה ולא מגלים לכם אם טענה הגרירה נכונה או לא (או שאתם לא מאמינים למרצה) אזי עומדות בפניכם שתי אופציות:
הוכח:
*<math>(A\rightarrow B) \equiv (\neg B \rightarrow \neg A)\equiv ((\neg A) \vee B)</math>
*(הנחה בשלילה) <math>A \equiv (\neg A \rightarrow F)</math>
*<math>(A\lor B) \equiv (\neg A \rightarrow B)</math>
דוגמאות מילוליות:
* בשביל להוכיח את הטענה ש "אם מישהו יכתוב בדיחה במבחן במקום תשובה אז הוא יקבל ניקוד חלקי" ניתן להוכיח באופן שקול כי " אם מישהו לא קיבל ניקוד חלקי במבחן אז זה אומר שהוא לא כתב בדיחה במבחן במקום תשובה"
* בשביל להוכיח את הטענה ש "הגובה שלי נמוך מ- 3 מטר" אפשר להוכיח באופן שקול כי הגובה שלי לפחות 3 מטר ולהגיע לסתירה. למשל הטיעון הבא: "אם הגובה שלי לפחות 3 מטר, אז הראש שלי היה נוגע בתקרה. כיוון שהוא לא נוגע בתקרה, זו סתירה ולכן איני בגובה 3 מטר"
==פרדיקטים וכמתים==
בניגוד לאטומים שהם ללא משתנים ה'''פרדיקטים''' הינם פונקציות התלויות במשתנים. לדוגמא ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות פרדיקט שמביע כי x הינו סטודנט באוניברסיטה ("מביע" פירושו שאם x הוא סטודנט אזי <math>S(x)</math> הוא T ואם x אינו סטודנט <math>S(x)</math> הוא F).
כיוון שאטומים הם ללא משתנים הם יכולים להיות T או F אבל לא שניהם. לעומתם פרדיקטים הם תלויים במשתנים ולכן ערך האמת שלהם יקבע לפי ההצבה במשתנים. למשל הפרדיקט <math>S(x,y)</math>שמביע כי <math>x<y</math> יהיה נכון במקרה ש <math>S(2,3)</math> ולא נכון במקרה ש <math>S(3,2)</math>. כלומר לכל הצבה במשתני הפרדיקטים נקבל פסוק. הערה: משמשים בקשרים גם בפרדיקטים למשל <math>S(x,y)</math> הפרדיקט המוגדר <math>(x>0) \land (x<y)</math>
בנוסף, ניתן להוסיף כמתים.
הכמת "לכל" <math>\forall</math> והכמת "קיים" <math>\exist</math>
תפקיד מרכזי של הכמת הוא להבהיר את כוונת הטענה. למשל הטענה ש "סטונדט הוא יצור חרוץ" יכולה לקבל 2 משמעויות בעזרת הכמתים. או "כל סטודנט הוא יצור חרוץ" או "קיים סטודנט שהוא יצור חרוץ".
הטענה הראשונה טוענת לגבי כלל הסטודנטים (אם רוצים להוכיח כי הטענה נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם חרוצים ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה מספיק למצוא סטודנט אחד שאינו חרוץ).
לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים
הצרן: לכל מספר p גדול מ-1: (p ראשוני) אמ"מ (אם הוא מחלק מכפלת מספרים אז הוא מחלק את אחד המספרים).
פתרון:
ההצרנה <math>\forall p >1 : (P(p)\iff Q(p))</math> כאשר
* <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט המביע כי"x הוא ראשוני".
* <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט המביע <math>\forall a,b : p|ab \Rightarrow (p|a \lor p|b)</math>
הערה: אחרי שמכמתים על כל משתני הפרדיקט מקבלים פסוק ללא משתנים.
הערה: שמות המשתנים אינם חשובים למשל עבור הפרדיק <math>S(x,y)</math> המוגדר <math>x\leq y</math> הפסוק <math>\forall x\forall y S(x,y)</math> הוא זהה לפסוק
<math>\forall t\forall s S(t,s)</math>
הערה: סדר הכמתים כן משתנה (לפעמים) למשל <math>\exist x\forall y S(x,y)</math> לא שקול לפסוק <math>\forall y \exist x S(x,y)</math>
נשים לב כי בשביל לקבוע אם הפסוק <math>\forall x P(x)</math> אנחנו צריכים לדעת איזה x ים "חוקיים" (בהנחה שאנחנו יודעים את P) ומכאן שנעבור להגדרות הבאות.
===תרגיל===
הצרינו את הפסוקים
(a) "כל שתי נקודות שונות קובעות ישר" באמצעות הפרדיקט הדו-מקומי P(x,l) - x נמצא ב l כאשר המשתנה x הוא נקודה ו l הוא ישר.
(b) "כל שתי נקודות שונות קובעות ישר אחד ויחיד"
====תרגיל====
נגדיר פרדיקט <math>R(x,z,y)</math> המביע כי <math>x<z<y</math>.
האם הפסוק <math>\forall x\forall y \exists z : (x<y)\to R(x,z,y)</math> אמיתי?
פתרון: אם המשתנים מגיעים מהשלמים הפסוק שקרי (שהרי לא קיים z עבור x=1,y=2). אם המשתנים מגיעים מהרציונאלים הפסוק אמת (תכונה זאת נקראת צפיפות הרציונאלים). מסקנה: צריך לדעת מאיפה מגיעים משתני הפרדיקט.
מה לא חשוב? לא חשוב שמות המשתנים. למשל <math>\forall x\forall y \exists z : (x<y)\to R(x,z,y)</math>
זה פסוק זהה לפסוק <math>\forall m\forall n \exists k : (m<n)\to R(m,k,n)</math>
חשוב גם הסדר, והכוונה לשני דברים:
*סדר הופעת הכמתים, למשל הפסוק <math>\forall x\exists z \forall y : (x<y)\to R(x,z,y)</math> הוא שקרי גם כשהמשתנים מגיעים מהרציונאלים (שהרי אפשר למצוא y שבין x לz)
*סדר המשתנים בתוך הפרדיקט, למשל הפסוק <math>\forall x\forall y \exists z : (x<y)\to R(x,y,z)</math> נכון גם כשהמשתנים מגיעים מהשלמים.
==== תרגיל ====
הוכח או הפרך (משתני הפרדיקט נלקחים מהטבעיים):
א. <math>(\forall n (P(n) \lor Q(n))) \Rightarrow ((\forall n P(n)) \lor (\forall n Q(n)))</math>
ב. <math>(\forall n (P(n) \lor Q(n))) \Leftarrow ((\forall n P(n)) \lor (\forall n Q(n)))</math>
פיתרון:
א. הפרכה. ניקח את <math>P(n)</math> להיות <math>1</math> על הזוגיים ו-<math>0</math> על אי-זוגיים, ו-<math>Q(n)</math> להפך. אכן כל מספר טבעי הוא זוגי או אי-זוגי, אך זה לא נכון שכל מספר הוא זוגי או שכל מספר הוא אי-זוגי.
ב. הוכחה: יהי <math>n</math>. אם מתקיים <math>P(n)</math> אז בפרט מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש. אחרת, לפי השקילות <math>a\lor b \equiv \lnot a \rightarrow b</math>, מתקיים שלכל מס' טבעי, ובפרט עבור <math>n</math>, מתקיים <math>Q(n)</math>, ולכן מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש.
==== תרגיל ====
הטענה: "כלב נובח אינו נושך" אם"ם "כלב נושך אינו נובח" צריכה להיות מנוסחת בצורה פורמלית יותר כ: "עבור כל כלב מתקיים כי: (כלב נובח אינו נושך) אם"ם (כלב נושך אינו נובח)"
נוכיח את הטענה: נסמן ב- D את קבוצת כל הכלבים ב -A את הנובחים וב- B את הנושכים אז הדוגמא היא בעצם <math>\forall x\in D :((x\in A\to x\notin B)\iff (x\in B \to x\notin A)) </math>
שזה בעצם מהצורה (לכל כלב) * <math>\ (p \rightarrow q) \iff ((\neg q) \rightarrow (\neg p))</math>.
באופן דומה ניתן לעשות אם הטענה: מי שלא לומד בסמסטר נכשל במבחן אמ"מ מי שלא נכשל במבחן למד בסמסטר
==שלילת פסוקים==
לדוגמא:
*"לכל אדם בעולם קיים דג עם מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם"
השלילה היא:
*"'''קיים''' אדם כך ש'''לא''' קיים דג עם מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם"
נמשיך:
*"קיים אדם ש'''לכל''' דג בעולם '''לא נכון''' ש(יש לו מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם)"
כלומר
*"קיים אדם שלכל דג בעולם יש מספר קשקשים שונה מגיל האדם וגם אורכו של הדג שונה מעשירית אורך האדם"
הערה: סדר הכמתים הוא חשוב (כמו בעברית) - לדוגמא: יש הבדל בין "לכל סיר קיים מכסה" לבין "קיים מכסה שמתאים לכל סיר".דוגמא: הצרן את המשפט "לכל מספר טבעי יש מספר טבעי הגדול ממנו" פתרון: <math>\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{N}:n<m</math> לעומת זאת <math>\exists m\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb{N}:n<m</math> פירושו שקיים מספר טבעי שגדול מכל המספרים הטבעיים.
פתרון: <math>\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon</math> .
דוגמאות של הצרנת ושלילת המושגים 'תלות לינארית', 'גבול סדרה', 'חח"ע', וכדומה
==צורות נורמליות: CNF ,DNF(אם רלוונטי לקורס שאתם לוקחים. אם לא שמעתם על הדברים האלה - תדלגו)==
ישנן שתי "צורות נורמליות" להצגת '''כל''' פסוקית - DNF ו CNF.
מה יצא לנו מזה? שימו לב שרק הצבה של ערכי האמת של <math>x_1,x_2,x_3</math> שמופיעים בשורה 3 תתן ערך אמת 1 ב <math>D_1</math>. כל הצבה אחרת (כלומר: הצבה של ערכי אמת של המשתנים בשורה אחרת) תתן 0 ב <math>D_1</math>.
באופן דומה נייצר <math>p_2D_2</math> עבור שורה 4 ו <math>p_3D_3</math> עבור שורה 6:
<math>D_2=\lnot x_1 \land\lnot x_2 \land x_3, \quad D_3=x_1\land \lnot x_2 \land x_3</math>
באופן דומה נייצר <math>C_2,C_3,C_4,C_5</math> עבור שורות 2 , 5, 7 ו-8:
<math>C_2= \lnot x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3, C_3=\lnot x_1\lor \lnot x_2 \lor x_3</math>
<math> C_4=x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3, C_5= \lnot x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3</math>