שינויים
יצירת דף עם התוכן "=מרחבים וקטורים= דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבו..."
=מרחבים וקטורים=
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבור'''
<math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math> ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math> הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
'''הגדרה''': מרחב וקטורי הוא רביעיה <math>(V,\mathbb{F},+,\cdot)</math>, כאשר
* <math>V</math> היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של '''חיבור''' (+). כלומר <math>+:V\times V \to V</math>
* <math>\mathbb{F}</math> הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של <math>V</math> וכפל בסקלאר.
* '''כפל בסקלאר''' (<math>\cdot</math>) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי <math>\mathbb{F}</math>.
פורמאלית <math>\cdot : \mathbb{F}\times V \to V</math>.
אקסיומות מרחב וקטורי:
'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:'''
לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים
# מוגדרות: <math>v+w\in V</math> .
#קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> .
#חילוף: <math>v+u=u+v</math> .
#איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> .
#איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> .
'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה
'''אקסיומות כפל בסקלאר'''
לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים
#מוגדרות <math>\alpha v\in V</math>
#קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math>
#כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math>
# פילוג:
##<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math>
## <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math>
טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>.
איברי <math>V</math> נקראים '''וקטורים'''. איברי <math>\mathbb{F}</math> נקראים '''סקלארים'''.
תכונות בסיסיות:
.1 <math>(-1_{F})v=(-v)</math>
.2 <math>0_{F}v=0_{V}</math>
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבור'''
<math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math> ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math> הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
'''הגדרה''': מרחב וקטורי הוא רביעיה <math>(V,\mathbb{F},+,\cdot)</math>, כאשר
* <math>V</math> היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של '''חיבור''' (+). כלומר <math>+:V\times V \to V</math>
* <math>\mathbb{F}</math> הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של <math>V</math> וכפל בסקלאר.
* '''כפל בסקלאר''' (<math>\cdot</math>) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי <math>\mathbb{F}</math>.
פורמאלית <math>\cdot : \mathbb{F}\times V \to V</math>.
אקסיומות מרחב וקטורי:
'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:'''
לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים
# מוגדרות: <math>v+w\in V</math> .
#קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> .
#חילוף: <math>v+u=u+v</math> .
#איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> .
#איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> .
'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה
'''אקסיומות כפל בסקלאר'''
לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים
#מוגדרות <math>\alpha v\in V</math>
#קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math>
#כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math>
# פילוג:
##<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math>
## <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math>
טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>.
איברי <math>V</math> נקראים '''וקטורים'''. איברי <math>\mathbb{F}</math> נקראים '''סקלארים'''.
תכונות בסיסיות:
.1 <math>(-1_{F})v=(-v)</math>
.2 <math>0_{F}v=0_{V}</math>
