שינויים
/* תרגיל */
====תרגיל====
בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו:
1. <math>f(x+yi)=e^x+\text{cis}y^3i</math>
2. <math>f(z)=z+Re(z)</math>
3. <math>f(z)=(z-1)(Re(z))^2</math>
4. <math>f(x+yi)=e^x\text{cis}+y^3i</math>
=====פתרון=====
1. נקבל: <math>U_x=e^x\cos x,U_y=-e^x\sin y,V_x=e^x\sin y,V_y=e^x\cos y</math>. ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: <math>U_x+V_xi=e^x\cos x+e^x\sin yi=e^x\text{cis}y</math>. שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!!
2. לא גזירה באף נקודה כי נקבל <math>Re(z)=f(z)-z</math>, ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה.
3. נרשום: <math>f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi</math>. נמצא נגזרות חלקיות: <math>U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2</math>. נבדוק מתי התנאי מתקיים:
<math>U_x=v_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2</math>.
<math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>.
שני התנאים מתקיים כאשר: <math>(x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0)</math>. כלומר גזירה בצירה המדומה, ובנקודה <math>(2,0)</math>.
הנגזרת שם היא: <math>U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi</math>. נשים לב שעל הציר המדומה <math>x=0</math> ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה <math>(2,0)</math> נקבל <math>f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8</math>.
4. נקבל את הנגזרות החלקיות: <math>U_x=1,U_y=0V_x=0,V_y=3y^2</math>. נבדוק את התנאי:
<math>U_x=V_y\iff 1=3y^2\iff y^2=\frac{1}{3}\iff y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}</math>.
<math>U_y=-V_x</math> תמיד.
לכן רק בנקודות <math>(x,\pm\frac{1}{\sqrt{3}})</math> הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: <math>U_x+V_xi=1</math>.
===משפט===
