שינויים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
* <math>f,g</math> פונקציות.
* <math>a_n,b_n</math> הם מקדמי פורייה של <math>\cos(nx),\sin(nx)</math> (בהתאמה) בטור פורייה של <math>f</math>, ו־<math>c_n</math> מקדמי פורייה של <math>\mathrm e^{\mathrm inx}</math> בטור פורייה המרוכב.
* <math>n!!</math> היא ''העצרת הכפולה'' של <math>n</math>, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם <math>n</math> אי־זוגי) מ־1 עד <math>n</math>, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: <math>(2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1)</math> ו־<math>(2n)!!=\prod_{k=1}^n 2k=2^n n!</math>.
* <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> אורתונורמלית ו־<math>\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> אורתוגונלית.
* '''פונקציה רציפה למקוטעין''' היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין יוצרות מרחב מכפלה פנימית <math>E</math> עם <math>\langle f,g\rangle_1=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math> או <math>\langle f,g\rangle_2=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math>.
* '''מערכת סגורה:''' נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור <math>\mathbf u</math> את התנאי <math>\lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>.
* המערכות <math>\left\{\frac1\sqrt2\right\}\cup\{\cos(nx)\}_{n=1}^\infty\cup\{\sin(nx)\}_{n=1}^\infty</math> ו־<math>\left\{\mathrm e^{\mathrm inx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty</math> אורתונורמליות סגורות ב־<math>E</math>לפי <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_1</math> ו־<math>\langle\cdot,\cdot\rangle_2</math> בהתאמה.
* טור פורייה של <math>f</math> הוא <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\forall n:\ a_n:=\langle f,\cos(nx)\rangle_1</math> ו־<math>b_n:=\langle f,\sin(nx)\rangle_1</math>.
:* אם <math>f</math> זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
:* מתקיים <math>\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2</math>.
* טור פורייה המרוכב של <math>f</math> הוא <math>\sum_{n=\to-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm inx}</math> כאשר <math>\forall n:\ c_n:=\langle f,\mathrm e^{\mathrm inx}\rangle_2</math>.
:* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\mathrm i\cdot\sgn(n)b_{|n|}}2</math> וכן <math>a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})</math>.
* אם <math>f\in E</math> ו־<math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של <math>f</math>, אזי <math>\lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0</math>.
* <math>E'</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע.
* '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'(\mathbb R)</math> אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור <math>2\pi</math>. בכל נקודה בה קיימת נגזרת הפונקציה רציפה טור פורייה מתכנס ל־<math>f</math>.
:* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2</math>.
* '''למת רימן־לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
* '''שוויון פרסבל:''' אם <math>f\in E</math> אזי <math>\|f\|_1^2=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi |f(x)|^2\mathrm dx=\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(|a_n|^2+|b_n|^2\Big)</math> ו־<math>\|f\|_2^2=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi |f(x)|^2\mathrm dx=\sum_{n\to-\infty}^\infty |c_n|^2</math>.
:* '''שוויון פרסבל המוכלל:''' אם <math>f,g\in E</math> אזי <math>\langle f,g\rangle_1=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=\frac{a_0\overline{c_0}}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\overline{c_n}+b_n\overline{d_n}\Big)</math> כאשר <math>g(x)\sim\frac{c_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(c_n\cos(nx)+d_n\sin(nx)\Big)</math>.
* אם <math>f</math> רציפה ב־<math>[-\pi,\pi]</math>, <math>f(-\pi)=f(\pi)</math> ו־<math>f'\in E</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> גזיר איבר־איבר ומתקיים <math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty\big(n b_n\cos(nx)-n a_n\sin(nx)\Big)=\sum_{n\to-\infty}^\infty \mathrm inc_n\mathrm e^{\mathrm inx}</math>.
* אם <math>f\in E</math> אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל <math>x\in[-\pi,\pi]</math> ולכל <math>m\in[-\pi,\pi)</math> מתקיים{{left|<math>\begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}n(\sin(nx)-\sin(nm))-\frac{b_n}n(\cos(nx)-\cos(nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm in}\left(\mathrm e^{\mathrm inx}-\mathrm e^{\mathrm inm}\right)\end{align}</math>}}והטורים מתכנסים במ״ש.
:* אם <math>F</math> קדומה ל־<math>f</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math> אזי <math>F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}n\sin(nx)-\frac{b_n}n\cos(nx)\right)+\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi F(x)\mathrm dx</math>
