שינויים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
* <math>f,g</math> פונקציות.
* בהנתן <math>a,b</math> נסמן <math>q=\frac2{b-a}</math> ו־<math>q_n=\pi nq</math>.* <math>a_n,b_n</math> הם מקדמי פורייה של <math>\cos(nxq_nx),\sin(nxq_nx)</math> (בהתאמה) בטור פורייה של <math>f</math>, ו־<math>c_n</math> מקדמי פורייה של <math>\mathrm e^{\mathrm inxiq_nx}</math>בטור פורייה המרוכב.
* <math>n!!</math> היא ''העצרת הכפולה'' של <math>n</math>, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם <math>n</math> אי־זוגי) מ־1 עד <math>n</math>, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: <math>(2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1)</math> ו־<math>(2n)!!=\prod_{k=1}^n 2k=2^n n!</math>.
* <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> אורתונורמלית ו־<math>\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> אורתוגונלית.
* '''פולינומי לז׳נדר:''' בהנתן המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math> על מרחב הפולינומים <math>P_n[x]</math>, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס <math>\{1,x,x^2,\dots,x^n\}</math> הם {{left|<math>\begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array}</math>}}ניתן לחשב אותם גם ע״י <math>P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n</math> או <math>P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1}</math>, והם מקיימים <math>\|P_n\|^2=\frac2{2n+1}</math>.
* '''פולינומי צבישב:''' בהנתן המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math> על מרחב הפולינומים <math>P_n[x]</math>, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס <math>\{1,x,x^2,\dots,x^n\}</math> הם {{left|<math>\begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array}</math>}}ניתן לחשב אותם גם ע״י <math>T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}</math> (נוסחת רודריגז) או <math>T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x)</math>, והם מקיימים <math>\|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases}</math>.
* '''פונקציה רציפה למקוטעין''' היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע <math>[a,b]</math> יוצרות מרחב מכפלה פנימית <math>E[a,b]</math> עם <math>\langle f,g\rangle_1rangle=\frac1\piq\int\limits_{-\pi}limits_a^\pi b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math> או . מכפלה פנימית שימושית נוספת היא <math>\tfrac12\langle f\cdot,g\rangle_2=cdot\frac1{2\pi}\int\limits_{rangle</math>.:* <math>E</math> הוא סימון מקוצר ל־<math>E[-\pi}^,\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx]</math>.
* '''מערכת סגורה:''' נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור <math>\mathbf u</math> את התנאי <math>\lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>.
* המערכות <math>\left\{\frac1\sqrt2\right\}\cup\{\cos(nxq_nx)\}_{n=1}^\infty\cup\{\sin(nxq_nx)\}_{n=1}^\infty</math> ו־<math>\left\{\mathrm e^{\mathrm inxiq_nx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty</math> אורתונורמליות סגורות ב־<math>E[a,b]</math> לפי המכפלות הפנימיות <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_1rangle</math> ו־<math>\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle_2rangle</math> בהתאמה.* טור פורייה של <math>f</math> ב־<math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nxq_nx)+b_n\sin(nxq_nx)\Big)</math> כאשר <math>\forall n\in\mathbb N\cup\{0\}:\ a_n:=\langle f,\cos(nxq_nx)\rangle_1</math> ו־<math>rangle\ \and\ \forall n\in\mathbb N:\ b_n:=\langle f,\sin(nxq_nx)\rangle_1rangle</math>.
:* אם <math>f</math> זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
:* מתקיים <math>\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2</math>.
* טור פורייה המרוכב של <math>f</math> ב־<math>[a,b]</math> הוא <math>\sum_{n\to-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm inxiq_nx}</math> כאשר <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n:=\tfrac12\left\langle f,\mathrm e^{\mathrm inxiq_nx}\rangle_2right\rangle</math>.
:* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\mathrm i\cdot\sgn(n)b_{|n|}}2</math> וכן <math>a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})</math>.
* אם <math>f\in E[a,b]</math> ו־<math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של <math>f</math>, אזי <math>\lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0</math>.* <math>E'[a,b]</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E[a,b]</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־<math>[a,b]</math> למעט, אולי, בקצות הקטע.* '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'(\mathbb R)</math> אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור <math>2\pib-a</math>. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־<math>[a,b]</math> מתכנס ל־<math>f</math>.:* אם <math>f\in E'[c,d]</math> אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־<math>\mathbb R</math>.:* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2\over2</math>.
* '''למת רימן־לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
* '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}</math>. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־<math>(-\pi,\pi)</math> שווה ל־<math>\pi</math>.
* אם <math>f\in E'[a,b]</math> רציפה ב־<math>[-\pia,\pib]</math> ו־<math>f(-\pia)=f(\pib)</math> אז טור פורייה של <math>f</math> יתכנס אליה במ״ש על הקטע.* '''שוויון פרסבל:''' אם <math>f\in E[a,b]</math> אזי <math>\|f\|_1^2=\frac1\piq\int\limits_{-\pi}limits_a^\pi b |f(x)|^2\mathrm dx=\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(|a_n|^2+|b_n|^2\Big)</math> ו־<math>\frac{\|f\|_2^2}2=\frac1{2\pi}frac q2\int\limits_{-\pi}limits_a^\pi b |f(x)|^2\mathrm dx=\sum_{n\to-\infty}^\infty |c_n|^2</math>.:* '''שוויון פרסבל המוכלל:''' אם <math>f,g\in E[a,b]</math> אזי <math>\langle f,g\rangle_1rangle=\frac1\piq\int\limits_{-\pi}limits_a^\pi b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=\frac{a_0\overline{c_0}}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\overline{c_n}+b_n\overline{d_n}\Big)</math> כאשר <math>g(x)\sim\frac{c_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(c_n\cos(nxq_nx)+d_n\sin(nxq_nx)\Big)</math>.* אם <math>f</math> רציפה ב־<math>[-\pia,\pib]</math>, <math>f(-\pia)=f(\pib)</math> ו־<math>f'\in E[a,b]</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> גזיר איבר־איבר ומתקיים <math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty\big(n q_n b_n\cos(nxq_nx)-n q_n a_n\sin(nxq_nx)\Big)=\sum_{n\to-\infty}^\infty \mathrm inc_niq_nc_n\mathrm e^{\mathrm inxiq_nx}</math>.* אם <math>f\in E[a,b]</math> אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל <math>x\in[-\pia,\pib]</math> ולכל <math>m\in[-\pia,\pib)</math> מתקיים{{left|<math>\begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}n{q_n}(\sin(nxq_nx)-\sin(nmq_nm))-\frac{b_n}n{q_n}(\cos(nxq_nx)-\cos(nmq_nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm iniq_n}\left(\mathrm e^{\mathrm inxiq_nx}-\mathrm e^{\mathrm inmiq_nm}\right)\end{align}</math>}}והטורים מתכנסים במ״ש.:* אם <math>F</math> קדומה ל־<math>f</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math> אזי <math>F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}n\sin(nx)-\frac{b_n}n\cos(nx)\right)+\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi F(x)\mathrm dx</math>.
