שינויים
יצירת דף עם התוכן "*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\big(\cos(n^{-|\alpha|})\big)</math> פתרון: נסתכל רק על <math>\alpha \geq 0</math> בגלל הערך המ..."
*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\big(\cos(n^{-|\alpha|})\big)</math>
פתרון: נסתכל רק על <math>\alpha \geq 0</math> בגלל הערך המוחלט (ואז נוותר על הערך המוחלט):
כיוון ש <math>\lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}=\lim\frac{\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]}{\left(n^{-\alpha}\right)^{2}}=-\frac{1}{2}</math>
נקבל, בשילוב עם כלל e ש <math>\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}=e^{\lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}}=e^{-\frac{1}{2}}</math>
ונקבל ש
<math>\frac{\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)}{n^{-2\alpha}}=n^{2\alpha}\cdot\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)=\ln\left(\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}\right) \to -\frac{1}{2}</math>
ולכן הטור שבשאלה חבר של הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}}</math> שמתכנס אמ"מ <math>2\alpha > 1</math> כלומר <math>\alpha > 0.5</math>
פתרון: נסתכל רק על <math>\alpha \geq 0</math> בגלל הערך המוחלט (ואז נוותר על הערך המוחלט):
כיוון ש <math>\lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}=\lim\frac{\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]}{\left(n^{-\alpha}\right)^{2}}=-\frac{1}{2}</math>
נקבל, בשילוב עם כלל e ש <math>\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}=e^{\lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}}=e^{-\frac{1}{2}}</math>
ונקבל ש
<math>\frac{\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)}{n^{-2\alpha}}=n^{2\alpha}\cdot\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)=\ln\left(\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}\right) \to -\frac{1}{2}</math>
ולכן הטור שבשאלה חבר של הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}}</math> שמתכנס אמ"מ <math>2\alpha > 1</math> כלומר <math>\alpha > 0.5</math>
