גרסה מ־18:47, 28 באוגוסט 2011

תוכן עניינים

1 השתנות חסומה (המשך)
- 1.1 משפט 1
  - 1.1.1 הוכחה
- 1.2 משפט 2

השתנות חסומה (המשך)

הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב- $[a,b]$ ותהי $P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ חלוקה של $[a,b]$ ( $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ ). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ- $v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|$ . כמו כן נגדיר את $\overset b\underset aV f$ , המסומן גם כ- $\overset b\underset aT f$ ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור $\sup_P\ v(f,P)$ . אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב- $[a,b]$ .

דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב- $\mathbb R$ .

משפט 1

נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב- $[a,b]$ ונגדיר $f=g-h$ לכל נקודה ב- $[a,b]$ . אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.

הוכחה

נבחר חלוקה כלשהי P של $[a,b]$ שנקודותיה הן $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ . לכן

	$\sum_{k=1}^n\vert f(x_k)-f(x_{k-1})\vert$	$=$	$v(f,P)$
	$\sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})-(h(x_k)-h(x_{k-1}))\vert$	$=$
	$\sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})\vert+\sum_{k=1}^n\vert h(x_k)-h(x_{k-1})\vert$	$\le$
g,h מונוטוניות עולות, לכן:	$\sum_{k=1}^n\Big(g(x_k)-g(x_{k-1})\Big)+\sum_{k=1}^n\Big(h(x_k)-h(x_{k-1})\Big)$	$=$
הטורים הללו טלסקופיים:	$g(b)-g(a)+h(b)-h(a)$	$=$

תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן $\overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty$ . $\blacksquare$

משפט 2

תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב- $[a,b]$ . אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב- $[a,b]$ כך ש- $\forall x\in[a,b]:\ f(x)=g(x)-h(x)$ .

הקדמה להוכחה

לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:

תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן $a=x_0<x_1<\dots<x_m=b$ . כמו כן נגדיר לכל x את $x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}$ ו- $x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}$ . לכן תמיד $x^+,x^-\ge 0$ ומתקיים $x=x^+-x^-$ ו- $|x|=x^++x^-$ . עתה נגדיר $p=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+$ ו- $n=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-$ . לכן $v(f,Q)=p+n$ . עוד נגדיר $P=\sup_Q\ p$ ו- $N=\sup_Q\ n$ . נסמן $T=\overset b\underset aV f$ ו- $t=v(f,Q)$ , לכן מתקיים $t=p+n$ ו- $T=\sup_Q\ t$ . נעיר שלכל Q מתקיים $t=p+n\le P+N$ ולפיכך $T\le P+N$ . לבסוף, נשים לב ש- $P,N\le T$ (כי $n,p\ge0$ ולכן $\sup\ p,\sup\ n\le\sup\ (p+n)$ ).

למה

בסימונים הנ"ל:

$f(b)-f(a)=P-N$
$T=P+N$

הוכחת הלמה

מתקיים
$\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}$
נסיק ש- $p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N$ ולכן $P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N$ . הראנו כבר ש- $N\le T\le\infty$ ולכן מותר להעביר אגף: $P-N\le f(b)-f(a)$ . כמו כן נסיק ש- $n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))$ ולכן $N\le P-(f(b)-f(a))$ . עתה נעביר אגף לקבל $P-N\ge f(b)-f(a)$ ולכן $P-N=f(b)-f(a)$ . $\blacksquare$
מתקיים $T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)$ . נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל $T\ge 2P+N-P=N+P$ . כבר הראנו ש- $T\le N+P$ ולכן $T=N+P$ . $\blacksquare$

הוכחה

לכל $x\in[a,b]$ נגדיר $g(x)=\overset x\underset aP f$ , כאשר $\overset x\underset aP f=\sup_Q\ p$ וכל Q היא חלוקה של הקטע $[a,x]$ . באופן דומה נגדיר $h(x)=\overset x\underset aN f$ . לפי סעיף 1 של הלמה, $\forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x)$ ולכן $f(x)=g(x)-(h(x)-f(a))$ . לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן $g(x)=\sup_Q\ \sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+$ ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש- $(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0$ ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם $h-f(a)$ מונוטונית עולה). $\blacksquare$

מסקנה 1

תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב- $[a,b]$ . אזי לכל $x_0\in[a,b)$ קיים $\lim_{x\to x_0^+} f(x)$ ולכל $x_0\in(a,b]$ קיים $\lim_{x\to x_0^-} f(x)$ .

הוכחה

נגדיר g,h עולות כך ש- $f=g-h$ . קל לראות שהן חסומות ב- $[a,b]$ (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. $\blacksquare$

מסקנה 2

תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב- $[a,b]$ . אזי f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

הוכחה

תהנה g,h מונוטוניות כך ש- $f=g-h$ . לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע. $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 =השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}=
-'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>.
+'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P\ v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>.
 '''דוגמה:''' ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11|אחת מההרצאות הקודמות]] הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-<math>\mathbb R</math>.
@@ שורה 18: / שורה 18: @@
     |o=\le
 }}
-{{=|r=\sum_{k=1}^n(g(x_k)-g(x_{k-1}))+\sum_{k=1}^n(h(x_k)-h(x_{k-1}))
+{{=|r=\sum_{k=1}^n\Big(g(x_k)-g(x_{k-1})\Big)+\sum_{k=1}^n\Big(h(x_k)-h(x_{k-1})\Big)
     |c=g,h מונוטוניות עולות, לכן:
 }}
 {{=|r=g(b)-g(a)+h(b)-h(a)
-    |c=הטורים הללו טלסקופיים.
+    |c=הטורים הללו טלסקופיים:
 }}
 |}
-תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}}
+תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}}
 ==משפט 2==
@@ שורה 33: / שורה 33: @@
 לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
-תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q p</math> ו-<math>N=\sup_Q n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q t</math>. לבסוף נעיר שלכל Q מתקיים <math>t=p+n\le P+N</math> ולפיכך <math>T\le P+N</math>. לבסוף, נשים לב ש-<math>P,N\le T</math> (כי <math>n,p\ge0</math> ולכן <math>\sup p,\sup n\le\sup p+n</math>).
+תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q\ p</math> ו-<math>N=\sup_Q\ n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q\ t</math>. נעיר שלכל Q מתקיים <math>t=p+n\le P+N</math> ולפיכך <math>T\le P+N</math>. לבסוף, נשים לב ש-<math>P,N\le T</math> (כי <math>n,p\ge0</math> ולכן <math>\sup\ p,\sup\ n\le\sup\ (p+n)</math>).
 ====למה====
@@ שורה 41: / שורה 41: @@
 =====הוכחת הלמה=====
-# מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+-\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-\\&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T\le\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}}
+# מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T\le\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}}
 # מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}}
 ===הוכחה===
-לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\sup_Qp</math> כאשר כל Q היא חלוקה של הקטע <math>[a,x]</math>. באופן דומה נגדיר <math>h(x)=\overset x\underset aN f</math>. לפי סעיף 1 של הלמה, <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x)</math> ולכן <math>f(x)=g(x)-(h(x)-f(a))</math>. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן <math>g(x)=\sup_Q\sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-<math>(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0</math> ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם <math>h-f(a)</math> מונוטונית עולה). {{משל}}
+לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\sup_Q\ p</math> וכל Q היא חלוקה של הקטע <math>[a,x]</math>. באופן דומה נגדיר <math>h(x)=\overset x\underset aN f</math>. לפי סעיף 1 של הלמה, <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x)</math> ולכן <math>f(x)=g(x)-(h(x)-f(a))</math>. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן <math>g(x)=\sup_Q\ \sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-<math>(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0</math> ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם <math>h-f(a)</math> מונוטונית עולה). {{משל}}
 ===מסקנה 1===
-תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> לכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
+תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
 ====הוכחה====
-נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמתיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. {{משל}}
+נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. {{משל}}
 ===מסקנה 2===

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.6.11"

גרסה מ־18:47, 28 באוגוסט 2011

תוכן עניינים

השתנות חסומה (המשך)

משפט 1

הוכחה

משפט 2

הקדמה להוכחה

למה

הוכחת הלמה

הוכחה

מסקנה 1

הוכחה

מסקנה 2

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים